[논문 리뷰] Left invariant semi Riemannian metrics on quadratic Lie groups

Shirley Bromberg, Alberto Abad Medina|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이차 리 군 위의 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량의 평탄성에 대한 필요 및 충분 조건을 확립하며, 이러한 계량이 항상 완전하다는 것을 증명한다. 비아벨리언 이차 리 군은 평탄한 리만 또는 로렌츠 계량을 가질 수 없지만, 모든 3단계 난류 리 군은 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량을 지닌다. 차원이 8를 초과할 경우, 이러한 계량이 무한히 많은 비등장하는 형태가 존재한다.

ABSTRACT

To determine the Lie groups that admit a flat (eventually complete) left invariant semi-Riemannian metric is an open and difficult problem. The main aim of this paper is the study of the flatness of left invariant semi Riemannian metrics on quadratic Lie groups i.e. Lie groups endowed with a bi-invariant semi Riemannian metric. We give a useful necessary and sufficient condition that guaranties the flatness of a left invariant semi Riemannian metric defined on a quadratic Lie group. All these semi Riemannian metrics are complete. We show that there are no Riemannian or Lorentzian flat left invariant metrics on non Abelian quadratic Lie groups, and that every quadratic 3 step nilpotent Lie group admits a flat left invariant semi Riemannian metric. The case of quadratic 2 step nilpotent Lie groups is also addressed.

연구 동기 및 목표

• 이차 리 군 위의 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량이 평탄해지는 조건을 규명하는 것.
• 평탄하고 완전한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량을 지닌 리 군을 분류하는 열린 문제를 해결하는 것.
• 특히 2단계 및 3단계 난류 경우를 포함한 난류 이차 리 군 위의 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량의 존재성과 분류를 분석하는 것.
• 고전 양-바크스터 방정식의 해와 이중 리 군 위의 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 유니모듈라 리 군 위의 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량의 평탄성 조건을 유도하기 위해 레비-치비타 곱과 곡률 텐서 분석을 활용한다.
• metric 이 양측의 이동에 대해 보존되는 이중 불변 준리만계량 이론을 적용하여, 이차(직교) 리 군에서의 적용을 다룬다.
• 메트릭이 리 대수 위에서 반사 성질을 가지므로, 이차 리 군 위의 자코비 장 및 공액점 분석을 수행한다.
• 내림차순 중심 시리즈를 유지하는 리 대수 위의 대칭 선형 동형사상 $ u $를 통해 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량을 구성한다.
• 3형식의 비나베르크-엘라샤빌리 분류를 활용하여, $ \dim V \geq 9 $ 일 때 무한히 많은 비등장하는 평탄한 계량이 존재함을 보여준다.
• 고전 양-바크스터 방정식의 해와 이중 리 군 위의 평탄한 계량 사이의 이중성 관계를 활용하여 새로운 예를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 리 군 위의 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량이 평탄해지기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 비아벨리언 이차 리 군은 평탄한 리만 또는 로렌츠 왼쪽 이Nm-불변 계량을 가질 수 있는가?
• RQ3 어느 난류 이차 리 군이 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량을 지니며, 그 수는 비등장하는 형태로 얼마나 존재하는가?
• RQ4 고전 양-바크스터 방정식의 해와 이중 리 군 위의 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량 존재성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 이차 리 군 위의 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량이 평탄해지기 위한 조건은 리 대수 위의 관련 대칭 선형 동형사상 $ u $ 가 레비-치비타 곱을 포함하는 특정 대수적 조건을 만족해야 한다는 것이다.
• 이차 리 군 위의 모든 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량은 지선적으로 완전하다.
• 비아벨리언 이차 리 군은 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 리만 또는 로렌츠 계량을 지닐 수 없다.
• 모든 3단계 난류 이차 리 군은 적어도 하나의 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량을 지닌다.
• 0 코르랭크를 가진 2단계 난류 이차 리 군에서, $ \dim G > 8 $ 일 경우 무한히 많은 비등장하는 평탄한 왼쪽 이Nm-불변 준리만계량이 존재한다.
• $ \dim V \geq 9 $ 일 때, 비나베르크-엘라샤빌리 분류에 의해 무한히 많은 비공액 3형식이 존재하며, 이는 관련 리 군 위에 무한히 많은 비등장하는 평탄한 계량을 이끌어낸다.