[논문 리뷰] Left localizable rings and their characterizations

V. V. Bavula|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 18.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 1인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모든 비영인 원소가 어떤 왼쪽 국소화에서 가역이 되는 링인 왼쪽 국소화 가능 링을 도입한다. 유한한 수의 최대 왼쪽 분모 집합을 가진 링의 경우, 그 링이 왼쪽 국소화 가능임과 그 가장 큰 왼쪽 몫환(quotient ring)이 단위체들의 유한한 직합인 것은 필요충분조건임을 증명하여, 이 조건 하에서 완전한 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

A new class of rings, the class of left localizable rings, is introduced. A ring $R$ is left localizable if each nonzero element of $R$ is invertible in some left localization $S^{-1}R$ of the ring $R$. Explicit criteria are given for a ring to be a left localizable ring provided the ring has only finitely many maximal left denominator sets (eg, this is the case if a ring has a left Artinian left quotient ring). It is proved that a ring with finitely many maximal left denominator sets is a left localizable ring iff its left quotient ring is a direct product of finitely many division rings. A characterization is given of the class of rings that are finite direct product of left localization maximal rings.

연구 동기 및 목표

• 새로운 링의 클래스인 왼쪽 국소화 가능 링을 정의하고 조사한다. 이 링은 모든 비영인 원소가 어떤 왼쪽 국소화에서 가역이 된다.
• 최대 왼쪽 분모 집합이 유한한 경우 왼쪽 국소화 가능 링을 특성화한다.
• 왼쪽 국소화 가능 링과 유한한 단위체 직합 사이의 구조적 연결 고리를 그들의 왼쪽 몫환을 통해 수립한다.
• 유한한 직합으로서의 왼쪽 국소화 최대 링들의 직접곱과 동형이 되는 링을 판별하는 기준을 제시한다.
• 왼쪽 오어 집합의 코어(core)와 그가 왼쪽 국소화 가능 링를 특성화하는 데서 수행하는 역할을 분석한다.

제안 방법

• 모든 비영인 원소가 어떤 왼쪽 국소화 $ S^{-1}R $ 에서 가역이 되는 링으로서 왼쪽 국소화 가능 링을 정의한다.
• 가장 큰 정규 왼쪽 분모 집합인 $ S_0 $ 에 대해 가장 큰 왼쪽 몫환 $ Q_l(R) = S_0^{-1}R $ 를 사용한다.
• 최대 왼쪽 분모 집합 $ S_1, \dots, S_n $ 과 그에 대응하는 이상 $ \mathfrak{a}_i = \text{ass}(S_i) $ 의 구조를 활용한다.
• 링의 구조와 국소화 행동 간의 관계를 설정하기 위해 자연스러운 준동형사상 $ \sigma: R \to \prod_{i=1}^n S_i^{-1}R $ 를 적용한다.
• 왼쪽 오어 집합 $ S $ 의 코어 $ S_c $ 는 $ \ker(s\cdot) = \text{ass}(S) $ 를 만족하는 원소 $ s \in S $ 의 집합으로 정의하고, $ S_c^{-1}R \simeq S^{-1}R $ 를 증명한다.
• 등형사상 $ \theta: S_c^{-1}R \to S^{-1}R $ 를 사용하여 국소화가 오직 코어에 의해 결정됨을 보이고, 이는 구조 분석을 단순화시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 링이 모든 비영인 원소가 가역이 되는 왼쪽 국소화를 갖는가?
• RQ2 최대 왼쪽 분모 집합이 유한한 링에 대해, 그것이 왼쪽 국소화 가능해지기 위한 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ3 왼쪽 국소화 가능 링은 그들의 왼쪽 몫환을 통해 유한한 단위체 직합과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 왼쪽 오어 집합의 코어는 왼쪽 국소화 가능 링를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 어떤 조건에서 링이 유한한 수의 왼쪽 국소화 최대 링들의 직접곱과 동형이 되는가?

주요 결과

• 최대 왼쪽 몰입환 $ Q_l(R) $ 가 단위체들의 유한한 직합이 되는 것과 동치로, 링 $ R $ 가 최대 왼쪽 분모 집합을 유한 개 가지면 왼쪽 국소화 가능이다.
• 자연스러운 사상 $ \sigma: R \to \prod_{i=1}^n S_i^{-1}R $ 는 단사적이며, 각 $ S_i^{-1}R $ 가 단위체가 되는 것은 $ R $ 가 왼쪽 국소화 가능일 조건과 동치이다.
• 왼쪽 국소화 반지름 $ \mathfrak{l}_R $ 가 영이 되는 것은 $ R $ 가 왼쪽 국소화 가능하고 최대 왼쪽 분모 집합을 유한 개 가지는 것과 동치이다.
• 최대 왼쪽 분모 집합의 수 $ n = |\text{max.Den}_l(R)| < \infty $ 인 왼쪽 국소화 가능 링에 대해, 고전적 왼쪽 몰입환 $ Q_{l,cl}(R) $ 은 $ n $ 개의 단위체들의 직합과 동형이다.
• 최대 왼쪽 분모 집합 $ S_i $ 의 코어 $ S_{i,c} $ 는 $ n \geq 2 $ 일 때 $ S_{i,c} = S_i \cap \bigcap_{j \neq i} \mathfrak{a}_j $ 를 만족하며, 여기서 $ \mathfrak{a}_j = \text{ass}(S_j) $ 이다.
• 만약 $ n = 1 $ 이면 $ S_{1,c} = S_1 = R \setminus \{0\} $ 이며, 이는 $ R $ 가 도메인이고 $ S_1 $ 이 모든 비영인 원소의 집합임을 의미한다.