[논문 리뷰] Left-right crossings in the Miller-Abrahams random resistor network on a Poisson point process

Alessandra Faggionato, Hlafo Alfie Mimun|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 16.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 7인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$, $d \geq 2$에서 포아송 점 과정 위에 정의된 밀러-아브라함스 무작위 저항망에서, 도전도가 거리에 따라 지수적으로 감소하고 i.i.d. 마크에 의존하는 경우를 연구한다. 유한하고 음이 아닌(또는 음수인) 마크 조건 하에, 초임계 상태에서 $n \times n$ 상자 내에서 정점을 공유하지 않는 왼쪽에서 오른쪽으로의 교차수는 고확률으로 $Cn^{d-1}$ 이상임을 증명한다. 이는 몰트의 법칙을 증명하기 위한 핵심 단계이다.

ABSTRACT

We consider the Miller-Abrahams (MA) random resistor network built on a homogeneous Poisson point process (PPP) on $\mathbb{R}^d$, $d\geq 2$. Points of the PPP are marked by i.i.d. random variables and the MA random resistor network is obtained by plugging an electrical filament between any pair of distinct points in the PPP. The conductivity of the filament between two points decays exponentially in their distance and depends on their marks in a suitable form prescribed by electron transport in amorphous materials. The graph obtained by keeping filaments with conductivity lower bounded by a threshold $\vartheta$ exhibits a phase transition at some $\vartheta_{ m crit}$. Under the assumption that the marks are nonnegative (or nonpositive) and bounded, we show that in the supercritical phase the maximal number of vertex-disjoint left-right crossings in a box of size $n$ is lower bounded by $Cn^{d-1}$ apart an event of exponentially small probability. This result is one of the main ingredients entering in the proof of Mott's law in [4].

연구 동기 및 목표

• 무작위 점 과정 $\mathbb{R}^d$, $d \geq 2$에서의 밀러-아브라함스 무작위 저항망의 연결성 특성을 분석한다.
• 특히 초임계 영역에서 네트워크의 도전도 구조에서 발생하는 상전이를 이해한다.
• 상자 크기 $n$에서 정점을 공유하지 않는 왼쪽-오른쪽 교차의 수에 하한을 설정함으로써 몰트의 법칙을 증명하는 데 필수적인 단계를 확립한다.

제안 방법

• 모든 포아송 점 쌍 간에 도전도가 거리에 따라 지수적으로 감소하고 i.i.d. 마크에 의존하는 방식으로 네트워크를 랜덤 그래프로 모델링한다.
• 도전도가 $\geq \vartheta$인 필라멘트만 유지하기 위해 임계값 $\vartheta$를 정의하고, 랜덤 부분그래프를 형성한다.
• 확률적 기법을 사용하여 $\vartheta > \vartheta_{\text{crit}}$일 때 부분그래프의 연결성을 분석하며, 특히 초임계 영역에 집중한다.
• 대 deviations 및 퍼콜레이션 이론을 적용하여, 정점을 공유하지 않는 왼쪽-오른쪽 교차의 수가 고확률로 최소 $Cn^{d-1}$ 이상으로 증가함을 보인다.
• 마크의 유계성과 부호 제약(음이 아닌 또는 음수)을 활용하여 도전도 변동성을 통제하고, 강력한 연결성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포아송 점 과정 위의 밀러-아브라함스 네트워크에서 초임계 상태일 때, 크기 $n$인 상자 내에서 정점을 공유하지 않는 왼쪽-오른쪽 교차의 수의 渐진적 행동은 어떠한가?
• RQ2 도전도가 거리에 따라 지수적으로 감소하고 i.i.d. 마크에 의존할 경우, 네트워크의 연결성 특성은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 이러한 교차의 수에 대해 $Cn^{d-1}$ 정도의 하한을, 지수적으로 작은 확률의 사건을 제외하고 확립할 수 있는가?
• RQ4 마크의 유계성과 부호 제약은 이러한 연결성 스케일링을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 초임계 상태에서 크기 $n$인 상자 내에서 정점을 공유하지 않는 왼쪽-오른쪽 교차의 수는 고확률으로 $Cn^{d-1}$ 이상으로 하한이 존재하며, 이때 $C > 0$는 $n$과 무관한 상수이다.
• 이 결과는 마크가 유계이면서 모두 음이 아닌 또는 모두 음수일 경우에 성립하며, 이는 도전도 행동의 안정성을 보장한다.
• 이 하한을 벗어나는 확률는 $n$에 대해 지수적으로 감소하므로, 이 스케일링 행동은 매우 일반적인 성질임을 시사한다.
• 네트워크는 초임계 영역에서 매크로스코픽 도전성 경로의 존재와 일치하는 높은 수준의 강건한 연결성을 보인다.