[논문 리뷰] Left-Right Entanglement Entropy, D-Branes, and Level-rank duality

Howard J. Schnitzer|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 26.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 34인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 원 위의 1+1차원 WZW 모델과 D-브레인에서의 왼쪽-오른쪽 얽힘 엔트로피(LREE)를 조사하며, 수준-랭크 dualities가 중심 전하가 큰 이론과 작은 이론 간에 LREE를 매핑함을 보여준다. ${\widehat{\rm su}(N)_K}$와 ${\widehat{\rm su}(K)_N}$ 간, 마찬가지로 ${\widehat{\rm sp}(N)_K}$에 대해서도 LREE 간의 이중성이 수립되며, 이중성에 따라 얽힘 구조가 유지됨을 보이며, 모듈러 S행렬을 통한 카르디 상태 엔트로피의 명시적 매핑을 제시한다.

ABSTRACT

We consider the left-right entanglement (LREE) entropy in 1+1 dimensions for WZW models on a circle, and for WZW models on untwisted and twisted D-branes. The consequences of level-rank duality for these applications is presented which provides a map of LREE from large to small central charge.

연구 동기 및 목표

• 원 위의 1+1차원 WZW 모델과 D-브레인에서의 왼쪽-오른쪽 얽힘 엔트로피(LREE)의 거동을 조사한다.
• 수준-랭크 이중성이 ${\widehat{\rm su}(N)_K}$와 ${\widehat{\rm sp}(N)_K}$의 WZW 모델에서 LREE에 미치는 영향을 탐구한다.
• 수준-랭크 이중성을 통해 중심 전하가 큰 이론과 작은 이론 간의 LREE 간 매핑을 수립한다.
• 3차원 TQFT에서의 월리 라인 관측량을 통해 LREE의 위상수학적 해석을 제공한다.
• 편향된 D-브레인에서의 개방 끈 분할 함수 계수들이 수준-랭크 이중성에 대해 불변임을 보여준다.

제안 방법

• 카르디 상태를 WZW 모델에서 경계 상태로 사용하며, 모듈러 S행렬을 통해 이시바시 상태의 초위상으로 표현한다.
• 오른쪽 이동 자유도를 흐리워서 얻은 감소 밀도 행렬을 통한 왼쪽-오른쪽 얽힘 엔트로피의 체계를 적용한다.
• ${\widehat{\rm su}(N)_K}$와 ${\widehat{\rm sp}(N)_K}$의 모듈러 S행렬 변환 규칙을 활용하여 이중 이론 간 엔트로피를 연결한다.
• 공식 $S_{|\lambda\rangle\rangle_C} = \frac{\pi cl}{24\epsilon} - \sum_{\mu} S^{2}_{\lambda\mu} \ln\left(\frac{S^{2}_{\lambda\mu}}{S_{0\mu}}\right)$ 를 사용해 원 위의 카르디 상태에 대한 LREE를 유도한다.
• 수준-랭크 이중성에 따른 S행렬 변환: ${\widehat{\rm su}}$에 대해 $S_{\lambda\mu} = \sqrt{K/N} e^{-2\pi i r(\lambda)r(\mu)/NK} \tilde{S}^*_{\tilde{\lambda}\tilde{\mu}}$, ${\widehat{\rm sp}}$에 대해 $S'_{\alpha'\beta'} = \tilde{S}'_{\tilde{\alpha}'\tilde{\beta}'}$.
• S행렬 항등식과 휘어진 D-브레인의 표현 이론을 통해 $n^{\alpha}_{\beta\lambda} = \tilde{n}^{\tilde{\alpha}}_{\tilde{\beta}\tilde{\lambda}}$ 를 보여줌으로써, 개방 끈 스펙트럼 계수 $n^{\alpha}_{\beta\lambda}$ 가 수준-랭크 이중성에 대해 불변임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수준-랭크 이중성은 중심 전하가 큰 이론과 작은 이론 간에 WZW 모델의 왼쪽-오른쪽 얽힘 엔트로피(LREE)를 어떻게 매핑하는가?
• RQ2 원 위의 카르디 상태에 대한 LREE는 3차원 TQFT에서의 위상적 얽힘 엔트로피로 해석될 수 있는가?
• RQ3 수준-랭크 이중성 하에서 WZW 모델의 비편향 및 휘어진 D-브레인에서의 LREE는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 편향된 D-브레인에서의 개방 끈 분할 함수 계수 $n^{\alpha}_{\beta\lambda}$ 는 수준-랭크 이중성 하에서 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 수준-랭크 이중성이 ${\widehat{\rm su}(N)_K}$와 ${\widehat{\rm su}(K)_N}$ 간, 마찬가지로 ${\widehat{\rm sp}(N)_K}$에 대해서도 엔트로피 얽힘의 구조를 유지하는가?

주요 결과

• 1+1차원에서 원 위의 카르디 상태에 대한 LREE는 $S_{|\lambda\rangle\rangle_C} = \frac{\pi cl}{24\epsilon} - \sum_{\mu} S^{2}_{\lambda\mu} \ln\left(\frac{S^{2}_{\lambda\mu}}{S_{0\mu}}\right)$ 로 주어지며, 여기서 $c$ 는 중심 전하이다.
• 수준-랭크 이중성 하에서 ${\widehat{\rm su}(N)_K}$ 의 LREE 는 ${\widehat{\rm su}(K)_N}$ 의 LREE 로 매핑되며, 큰 $K$ 근처에서 중심 전하 $c \sim N^2$ 이고, 이중 이론에서는 $c \sim KN$ 이다.
• ${\widehat{\rm sp}(N)_K}$ 에서는 이중성이 ${\widehat{\rm sp}(K)_N}$ 으로 매핑되며, 큰 $K$ 근처에서 중심 전하 $c \sim N(N+1)$ 이고, 이중 이론에서는 $c \sim KN$ 이다.
• 편향된 D-브레인 $\omega_c$ 에서의 개방 끈 스펙트럼 계수 $n^{\alpha}_{\beta\lambda}$ 는 수준-랭크 이중성에 대해 불변이다: $n^{\alpha}_{\beta\lambda} = \tilde{n}^{\tilde{\alpha}}_{\tilde{\beta}\tilde{\lambda}}$.
• 이중성은 중심 전하가 큰 이론과 작은 이론 간에 WZW 모델의 얽힘 구조를 유지하며, 엔트로피의 구조도 그대로 유지한다.
• 이 체계는 LREE 가 $S^3$ 위의 초전도체 이론에서의 월리 라인 관측량을 통해 위상수학적으로 해석될 수 있음을 시사하며, 2+1차원 TQFT와 1+1차원 CFT 얽힘 간의 연결 고리를 제공한다.