[논문 리뷰] Legendre transformation for regularizable Lagrangians in field theory

Olga Krupková, Dana Smetanová|ArXiv.org|2001. 11. 01.

Geophysics and Gravity Measurements참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 레파지안 등가를 사용하여 양자장 이론에서 정규화 가능한 라그랑지안에 대한 일반화된 레지앙드 변환을 제안하며, 일반 이론에서 비정규적인 것으로 간주되는 라그랑지안(디랙 및 전자기장의 경우)에 대해서도 해밀토니안 형식을 가능하게 한다. 주요 기여는 일阶 장 이론에서 애핀 및 이차 라그랑지안에 대해 일관되고 제약 조건이 없는 해밀토니안 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Hamilton equations based not only upon the Poincare--Cartan equivalent of a first-order Lagrangian, but rather upon its Lepagean equivalent are investigated. Lagrangians which are singular within the Hamilton--De Donder theory, but regularizable in this generalized sense are studied. Legendre transformation for regularizable Lagrangians is proposed, and Hamilton equations, equivalent with the Euler--Lagrange equations, are found. It is shown that all Lagrangians affine or quadratic in the first derivatives of the field variables are regularizable. The Dirac field and the electromagnetic field are discussed in detail.

연구 동기 및 목표

• 표준 정규 조건 하에서 비정규적이지만 레파지안 등가를 통해 정규화 가능한 라그랑지안에 대한 레지앙드 변환을 개발하기 위해.
• 이러한 정규화 가능한 라그랑지안에 대해 올바른 해밀토니안 방정정식(특히 해밀토니안 $p_2$-방정식)을 도출하여 오일러-라그랑주 방정식과 등가로 만들기 위해.
• 모든 일阶 도함수에 대해 애핀 또는 이차인 라그랑지안이 정규화 가능하며, 해밀토니안 형식에서 제약 조건이 없이 표현 가능함을 보여주기 위해.
• 이 일반화된 접근법을 사용하여 디랙 장 및 전자기장에 대한 명시적인 운동량과 해밀토니안을 제공하기 위해.
• 일부 조건 하에서 해밀토니안 $p_2$-방정식이 등가 라그랑지안의 표준 해밀토니안 방정식과 일치함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 최대 2-접촉 형식인 라그랑지안의 레파지안 등가를 사용하여, 푸앵카레-카르탕 형식을 초월하는 접근을 수행한다.
• 레파지안 등가에서 유도된 일반화된 해밀토니안 역학 형태인 해밀토니안 $p_2$-방정식을 적용한다. 이는 표준 푸앵카레-카르탕 형식이 아닌 레파지안 등가에서 유도된다.
• 행렬 $\left(\frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_i \partial y^\nu_k} + \frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_k \partial y^\nu_i}\right)$ 의 비특이성에 기반한 정규성 조건을 도입하며, 이는 표준 헤시안 조건을 일반화한다.
• 일반화된 헤시안을 통한 운동량 사상의 역을 구함으로써 레지앙드 변환을 유도하며, 이는 애핀 및 이차 라그랑지안에 대해 가역성을 보장한다.
• 운동량의 역변환을 통해 레지앙드 좌표에서 해밀토니안을 구성함으로써, 오일러-라그랑주 방정식과의 등가성을 보장한다.
• 이 형식을 디랙 장 및 전자기장에 적용하여 명시적인 운동량과 해밀토니안을 계산하고, 기존의 장 방정식과의 등가성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 정규 조건 하에서 비정규적이지만 레파지안 등가를 통해 정규화 가능한 라그랑지안에 대해 일관된 레지앙드 변환을 정의할 수 있는가?
• RQ2 레파지안 형식에서 유도된 해밀토니안 $p_2$-방정식이 비정규적이지만 정규화 가능한 라그랑지안의 오일러-라그랑주 방정식과 등가인가?
• RQ3 이 일반화된 프레임워크 하에서 일阶 도함수에 대해 애핀 또는 이차인 모든 라그랑지안이 정규화 가능하며, 제약 조건이 없는 해밀토니안 형식을 갖는가?
• RQ4 일반화된 레지앙드 변환은 디랙 장 및 전자기장과 같은 특정 물리적 장의 표준 해밀토니안 구조를 복원할 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 해밀토니안 $p_2$-방정식이 등가 라그랑지안의 표준 해밀토니안 방정식과 일치하는가?

주요 결과

• 모든 일阶 도함수에 대해 애핀 또는 이차인 라그랑지안은 제안된 프레임워크 하에서 정규화 가능하며, 일반화된 헤시안 행렬이 비특이적이므로 정규화 가능함을 확인한다.
• 전자기장 라그랑지안 $L = \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 에서 행렬 $\left(\frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_i \partial y^\nu_k} + \frac{\partial^2 L}{\partial y^\sigma_k \partial y^\nu_i}\right)$ 는 비특이적이며, 정규화 가능성을 확인한다.
• 전자기장의 운동량은 $\mu \ne \nu$ 일 때 $p^\mu_\nu = 4\partial_\nu A^\mu - 3\partial^\mu A^\nu$ 이고, $\mu = \mu$ 일 때 $p^\mu_\mu = 4\sum_{\alpha \ne \mu} \partial_\alpha A^\mu$ 이며, 역변환은 명시적으로 계산되었다.
• 레지앙드 좌표에서의 전자기장 해밀토니안은 $H = -\frac{1}{12}\sum (p^\mu_\mu)^2 - \frac{1}{16}\sum (p^\mu_\nu)^2 - \frac{3}{8}\sum p^\mu_\nu p^\nu_\mu$ 이며, 디든더라이제이션으로 인한 추가 항이 포함되어 있다.
• X = \mathbb{R}^2 에서의 디랙 장에 대해 운동량은 $p^1_1 = 4y^2_2$, $p^1_2 = -3y^1_2 + y^2_1$, $p^2_2 = 4y^1_1$, $p^2_1 = y^1_2 - 3y^2_1$ 이며, 해밀토니안은 $H = \frac{1}{4}p^1_1 p^2_2 - \frac{3}{8}p^1_2 p^2_1 - \frac{1}{16}(p^1_2)^2 - \frac{1}{16}(p^2_1)^2$ 이다.
• 전자기장의 해밀토니안 $p_2$-방정식은 맥스웰 방정식과 등가이며, 기존 장 이론과의 일관성을 확인한다.