[논문 리뷰] Leibniz, Randomness and the Halting Probability

Gregory J. Chaitin|ArXiv.org|2004. 06. 03.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 알고리즘 정보 이론을 활용해 1686년 라이프니츠의 순서와 무작위성의 구분에 대한 아이디어를 재해석하며, 비트 문자열의 알고리즘 압축 불가능성에 의해 무작위성을 정의한다. 이는 수학적으로 정의된 알고리즘적으로 무작위인 실수인 차이틴의 Ω 수를 소개하며, 불가피한 수학적 진리의 본질을 드러내고 형식 체계의 본질적 한계를 보여주며, 수학에 대한 약간의 경험적 접근 방식을 제안한다.

ABSTRACT

This paper, which is dedicated to Alan Turing on the 50th anniversary of his death, gives an overview and discusses the philosophical implications of incompleteness, uncomputability and randomness.

연구 동기 및 목표

• 현대 알고리즘 정보 이론을 활용해 1686년 라이프니츠가 제시한 구조적 데이터와 무작위 데이터의 구분을 재구성한다.
• 공식의 복잡성 대신 프로그램 크기의 복잡성으로 정의함으로써, 라이프니츠의 복잡성 기준에 대한 모호함을 해결한다.
• 정지 확률 Ω가 알고리즘적으로 무작위이자 최대한으로 알 수 없음을 입증한다. 이는 정확한 수학적 정의가 있음에도 불구하고 성립한다.
• 고델의 불완전성과 turing의 정지 문제로부터, 수학적 진리가 본질적으로 무작위일 수 있으며, 완전한 형식적 증명의 이상을 도전할 수 있음을 주장한다.
• 증명되지 않았지만 타당성이 있는 가설(예: P ≠ NP)을 기초 공리로 간주하는 수학의 약간의 경험적 철학을 제안한다. 이는 물리학 이론과 유사하다.

제안 방법

• 유한한 비트 문자열을, 그 문자열을 생성하는 가장 작은 프로그램의 길이가 문자열 자체의 길이와 같거나 더 길 경우, 즉 압축 불가능한 경우 알고리즘적으로 무작위라고 정의한다.
• 자기 구분 프로그램을 사용하여 알고리즘 복잡성의 정의를 강화하고, 이전 정의에서 발생하는 기술적 결함을 방지한다.
• 자기 구분 프로그램의 정지 프로그램에 대해 2^(-프로그램 길이)의 합으로 정지 확률 Ω을 구성한다.
• Ω가 알고리즘적으로 무작위임을 증명한다: N 비트 이하의 공리로 구성된 어떤 형식 체계도 Ω의 이진 전개에서 N 비트를 결정할 수 없다.
• Ω의 개별 비트는 수학적으로 결정되어 있지만 통계적으로 무작위처럼 보이며, 각 비트는 0 또는 1일 확률이 1/2이다.
• Ω가 압축되거나 예측될 수 없기 때문에, 이유 없이 참인 진리의 예로 작용하며, 최대한의 수학적 무작위성을 나타낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라이프니츠의 1686년 무작위성과 법칙적 데이터를 구분하는 기준을 현대 계산 개념을 사용해 형식화할 수 있는가?
• RQ2 수학적 방정식의 복잡성 대신 알고리즘 압축 불가능성으로 정의된 무작위성의 본질은 무엇인가?
• RQ3 정지 확률 Ω는 수학적으로 정의되었지만 본질적으로 무작위인 수의 구체적 예시인가?
• RQ4 Ω의 알고리즘적 무작위성은 수학적 진리가 본질적으로 알 수 없고 구조가 없는가에 대한 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 Ω의 본질적 무작위성은 물리학에서 증명되지 않았지만 타당성이 있는 가설을 기초 공리로 간주하는 것과 유사한, 수학에 대한 약간의 경험적 접근을 정당화할 수 있는가?

주요 결과

• 정지 확률 Ω는 수학적으로 잘 정의되어 있으나 알고리즘적으로 무작위이다. 그 개별 비트는 어떤 형식 체계에서도 N 비트 이하의 공리로도 압축하거나 예측할 수 없다.
• Ω는 최대한으로 알 수 없다: N 비트 이하의 복잡성의 증명 체계로는 Ω의 이진 전개에서 N 비트를 결정할 수 없으며, 이는 이유 없이 참인 수학적 사실의 구체적 예이다.
• Ω의 비트는 통계적으로 무작위처럼 보인다. 각 비트는 0 또는 1일 확률이 1/2이며, 간단한 수학적 정의에 의해 정확히 결정된다.
• Ω의 구성은 자기 구분 프로그램에 의존하며, 이는 이전 알고리즘 복잡성과 무작위성 정의에서 발생하는 기술적 결함을 해결한다.
• Ω는 고델의 불완전성과 turing의 정지 문제로부터 이전에 인식된 것보다 깊이 있는 수학적 무작위성을 드러낸다.
• 논문은 이러한 무작위성이 수학이 약간의 경험적 접근을 채택해야 할 수 있음을 시사하며, 증명되지 않은 가설을 물리학 이론과 유사하게 기초 공리로 간주해야 한다고 주장한다.