[논문 리뷰] Lemniscate Convexity and Other Properties of Generalized Bessel Functions

Vibha Madaan, Ajay Kumar외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 12.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 미분 초월 기법을 사용하여 일반화되고 정규화된 베타 함수의 레미니스케이트 볼록성 및 기타 기하적 성질을 조사한다. 매개수 $p$, $b$, $c$ 에 대한 충분한 조건을 도출하여 함수 $u_{p,b,c}(z)$ 가 $\sqrt{1+z}$ 로의 초월을 만족함으로써 레미니스케이트 볼록성 또는 스타리케이프성을 보장하고, 정규화된 로멜 함수 $h_{\mu,p}(z)$ 에 대해서도 유사한 결과를 유도하며, 앨리샤스터 변환 성질을 포함한다.

ABSTRACT

Sufficient conditions on associated parameters $p,b$ and $c$ are obtained so that the generalized and extquotedblleft{normalized} extquotedblright{} Bessel function $u_p(z)=u_{p,b,c}(z)$ satisfies $|(1+(zu''_p(z)/u'_p(z)))^2-1|<1$ or $|((zu_p(z))'/u_p(z))^2-1|<1$. We also determine the condition on these parameters so that $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_p(z)\prec\sqrt{1+z}$. Relations between the parameters $μ$ and $p$ are obtained such that the normalized Lommel function of first kind $h_{μ,p}(z)$ satisfies the subordination $1+(zh''_{μ,p}(z)/h'_{μ,p}(z))\prec\sqrt{1+z}$. Moreover, the properties of Alexander transform of the function $h_{μ,p}(z) $ are discussed.

연구 동기 및 목표

• 매개수 $p$, $b$, $c$ 에 대한 충분한 조건을 도출하여 일반화되고 정규화된 베타 함수 $u_{p,b,c}(z)$ 가 레미니스케이트 볼록성 또는 레미니스케이트 스타리케이프성을 갖는다.
• 매개수 $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_{p}(z) \prec \sqrt{1+z}$ 에 대한 초월 조건을 설정한다.
• 정규화된 로멜 함수 $h_{\mu,p}(z)$ 의 기하적 성질을 분석하며, 특히 $\sqrt{1+z}$ 로의 초월 성질을 중심으로 다룬다.
• 함수 $h_{\mu,p}(z)$ 의 앨리샤스터 변환을 조사하고 기하적 함수 클래스에 대한 영향을 분석한다.

제안 방법

• 연구는 단위 원판 내 해석 함수의 초월 조건을 분석하기 위해 특별히 밀러와 모카누의 방법을 활용한 미분 초월 이론을 적용한다.
• 일반화된 베타 함수 $u_{p,b,c}(z)$ 는 포흐하머 심볼을 포함하는 하이퍼기하 급수 형태로 정의되며, 전체 함수임을 보여준다.
• 함수 $u_{p,b,c}(z)$ 와 $h_{\mu,p}(z)$ 에 대해 핵심 미분 방정식을 유도하고, 함수 부등식을 통해 초월을 확립하는 데 사용한다.
• 증명은 보조 함수 $p(z)$ 를 구성하고, 주어진 매개수 제약 조건 하에서 복소 함수 $\psi(r,s,t;z)$ 가 영이 아님을 확인하기 위해 레마 3.1 을 적용하는 데 기반한다.
• 단위 원판 내에서 $\theta$, $m$, $z$ 를 포함한 복소 표현식의 실부와 모듈러스를 근거로 $\psi \neq 0$ 를 확보하여 초월을 확인하기 위한 분석이 이루어진다.
• 각도 및 모듈러스 제약 조건 하에서 복소 표현식의 실부가 영으로부터 멀리 떨어져 있도록 보장함으로써 매개수 제약 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개수 $p$, $b$, $c$ 가 어떤 조건을 만족할 경우 일반화된 베타 함수 $u_{p,b,c}(z)$ 가 레미니스케이트 볼록성이 되는가?
• RQ2 $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_{p}(z)$ 가 언제 $\sqrt{1+z}$ 로의 초월을 만족하는가?
• RQ3 어떤 $\mu$ 와 $p$ 에 대해 정규화된 로멜 함수 $h_{\mu,p}(z)$ 가 $1 + (zh''_{\mu,p}(z)/h'_{\mu,p}(z)) \prec \sqrt{1+z}$ 를 만족하는가?
• RQ4 $h_{\mu,p}(z)$ 의 앨리샤스터 변환은 어떤 기하적 성질을 보이는가?

주요 결과

• 함수 $u_p(z)$ 가 레미니스케이트 볼록성을 갖기 위해 $|(1 + zu''_p(z)/u'_p(z))^2 - 1| < 1$ 이 성립하도록 매개수 $p$, $b$, $c$ 에 대한 충분한 조건을 도출하였다.
• $-(4(p+(b+1)/2)/c)u'_p(z) \prec \sqrt{1+z}$ 는 매개수 $p$, $b$, $c$ 를 포함하는 특정 부등식을 만족할 경우 성립한다.
• 정규화된 로멜 함수 $h_{\mu,p}(z)$ 에 대해 $1 + (zh''_{\mu,p}(z)/h'_{\mu,p}(z)) \prec \sqrt{1+z}$ 는 $\operatorname{Re} \mu > -1$ 이고 $p$ 가 $\frac{3\operatorname{Re} \mu}{2\sqrt{2}} - \sqrt{3}\left|\frac{(\mu+1)^2 - p^2}{4} - 2\mu - 2\right| > \frac{13\sqrt{3}}{4} - \frac{15}{8\sqrt{2}} + \frac{1}{4}$ 를 만족할 경우 성립한다.
• 유도된 매개수 제약 조건 하에서 $h_{\mu,p}(z)$ 의 앨리샤스터 변환은 $\sqrt{1+z}$ 로의 초월을 유지함을 보였다.
• 함수 $u_p(z)$ 는 전체 함수이며, 미분 방정식 $4z^2 u''_p(z) + 4\kappa z u'_p(z) + c z u_p(z) = 0$ 을 만족한다. 여기서 $\kappa = p + (b+1)/2$ 이다.