[논문 리뷰] Lens rigidity with partial data in the presence of a magnetic field

Hanming Zhou|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 20.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 차원이 3 이상인 다양체 위에서 자기장이 존재하는 등각 리만계량에 대해 국소 렌즈 유일성 문제를 확립한다. 여기서 등각 인자와 자기장은 부분 렌즈 데이터—즉, 단위 속도 자기지오데식의 산란 관계와 도착 시간—로부터 엄격하게 볼록한 경계점 근처에서 유일하게 결정됨을 보여준다. 핵심 결과는 국소 경계 및 렌즈 유일성 문제를 부분 데이터와 등각 불변성 하에서 자기 시스템으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the lens rigidity problem with partial data for conformal metrics in the presence of a magnetic field on a compact manifold of dimension $\geq 3$ with boundary. We show that one can uniquely determine the conformal factor and the magnetic field near a strictly convex (with respect to the magnetic geodesics) boundary point where the lens data is accessible. We also prove a boundary rigidity result with partial data assuming the lengths of magnetic geodesics joining boundary points near a strictly convex boundary point are known. The local lens rigidity result also leads to a global rigidity result under some strictly convex foliation condition. A discussion of a weaker version of the lens rigidity problem with partial data for general smooth curves is given at the end of the paper.

연구 동기 및 목표

• 자기장이 존재하는 경우에도 부분 데이터를 통한 자기 시스템의 렌즈 유일성 문제를 다루는 것.
• 엄격히 볼록한 경계점 근처에서 불완전한 경계 측정치로부터 등각 인자와 자기장을 유일하게 복원할 수 있는지 확인하는 것.
• 엄격히 볼록한 경계점 근처에서 자기지오데식 길이를 알고 있다는 가정 하에 부분 데이터에 대한 경계 유일성 결과를 확립하는 것.
• 엄격히 볼록한 층화 조건 하에서 전역 유일성 결과를 도출하는 것.
• 가장 일반적인 매끄러운 곡선에 대해 가중치가 부여된 X선 변환을 사용한 렌즈 유일성 문제의 약한 형태를 탐색하는 것.

제안 방법

• 경계의 단위 구면 배럴 위에서 단위 속도 자기지오데식에 대한 산란 관계 $L$ 과 도착 시간 $\tau$ 를 렌즈 데이터로 정의한다.
• 자기장 $\Omega$ 를 나타내는 폐포함 2형식 $\Omega$ 와 함께 심플렉틱 형식 $\beta = \beta_0 + \pi^*\Omega$ 를 갖는 해밀토니안 시스템으로 생성된 자기 흐름을 사용한다.
• 렌즈 데이터의 동일성에서 유도된 자기지오데식을 따라 등각 인자의 로그 비율을 포함하는 적분 항등식(식 19)을 적용한다.
• 문제를 구면 배럴 위의 가역 행렬장 $\mathcal{W}$ 를 갖는 행렬 가중치 X선 변환 $I_{\mathcal{W}}\varphi = 0$ 으로 감소시킨다.
• 지오데식 흐름의 유일성 분석과 유사한 추론을 통해 가중치가 부여된 X선 변환 $I_{\mathcal{W}}$ 의 국소 역행성 증명을 통해 등각 인자의 유일성을 확보한다.
• 국소 결과를 특이점의 전파 및 미세해석 기법을 통해 확장함으로써 엄격히 볼록한 층화 조건 하에서 전역 유일성 결과를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기장이 존재하는 상황에서 부분 렌즈 데이터로부터 등각 리만계량의 등각 인자를 유일하게 복원할 수 있는가?
• RQ2 산란 관계와 도착 시간 데이터가 엄격히 볼록한 경계점 근처에서 자기장과 등각 인자를 유일하게 결정하는 데 필요한 기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 부분 데이터만 제공될 경우 자기 시스템의 렌즈 유일성 문제와 경계 유일성 문제 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 가중치가 부여된 X선 변환은 렌즈 데이터로부터 등각 인자를 복원하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유일성 결과에서 경계 제트 가정을 경계에서의 등식만 요구하는 것으로 약화시킬 수 있는가?

주요 결과

• 렌즈 데이터(산란 관계와 도착 시간)가 일치하고, $c$ 와 $\tilde{c}$ 의 경계 제트가 동일할 경우, 엄격히 볼록한 경계점 근처에서 등각 인자 $c$ 는 유일하게 결정된다.
• 주요 결과에서 자기장 $G$ 는 고정되어 있다고 가정하여, 부분 관측 하에서 렌즈 데이터로부터 등각 인자 $c$ 를 복원할 수 있다.
• 행렬 가중치 X선 변환 $I_{\mathcal{W}}$ 를 통한 국소 렌즈 유일성 결과를 확립하였으며, 이 변환이 국소적으로 역행성임을 증명함으로써 등각 인자의 유일성이 도출된다.
• 엄격히 볼록한 층화 조건 하에서는 국소 결과를 전체 다양체로 확장함으로써 전역 유일성 결과가 성립한다.
• 일반적인 매끄러운 곡선에 대해 문제를 가중치가 부여된 X선 변환으로 환원함으로써 더 약한 유일성 결과를 제공하지만, 추가 가정이 없으면 전체 역행성은 보장되지 않는다.
• 결과는 등각 불변성에 대해 강건하며, 매끄러운 경계를 갖는 차원 $n \geq 3$ 의 다양체에 적용 가능하다.