[논문 리뷰] Les algebres de Hopf des arbres enracines decores

Loïc Foissy|ArXiv.org|2001. 05. 25.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 장식된 루트 트리의 비가환, 비코코ercive 호프 대수를 도입하며, 이는 이전의 가환 구조를 일반화한다. 비퇴화된 호프 쌍대성(pairing)을 확립하고, 쌍대성의 조합론적 해석을 제공하며, 원시 원소들의 대수의 자유 생성성을 증명함으로써 평면 이진 트리의 호프 대수와의 동형성을 이끌어낸다. 또한, 장식 집합의 원소 수가 동일할 경우, 유한하거나 가чёт 가능한 장식을 가진 이러한 모든 호프 대수는 그레이드 호프 대수로서 동형임을 드러낸다.

ABSTRACT

In \cite{Kreimer1,Connes,Broadhurst,Kreimer2}, a commutative, non cocommutative Hopf algebra H_R of (decorated) rooted trees was introduced. It is related to the Hopf algebra H_CM introduced in \cite{Moscovici}. Its dual Hopf algebra is the enveloping algebra of the Lie algebra of rooted trees L^1. In this paper, we introduce a non commutative, non cocommutative Hopf algebra H_PR of decorated planar rooted trees. We first show that H_PR is self dual. We then use this result to construct a non degenerate bilinear form (,) on H_PR, which respects the Hopf algebra structure of H_PR. Moreover, we give a combinatorial expression for the bilinear form (,). This allows us to give a direct formula for a basis of the primitive elements of H_PR. In the next sections, we show that H_PR is isomorphic to the Hopf algebra of planar binary trees introduced in \cite{Frabetti, Brouder}, and construct a subalgebra of formal non commutative diffeomorphisms. We then classify the Hopf algebra endomorphisms and coalgebra endomorphisms of H_PR. In the last sections, we give results about tensorial coalgebras and apply them to H_PR and H_R. We show how to construct the primitive elements of H_R from the primitive elements of H_PR and finally prove that L^1 is a free Lie algebra.

연구 동기 및 목표

• 루트 트리의 가환 호프 대수를 장식을 도입하여 비가환, 비코코ercive 환경으로 일반화하는 것.
• 장식된 루트 트리 대수 위에 비퇴화된 호프 쌍대성을 구성하는 것.
• 쌍대성의 조합론적 해석을 제공하고 원시 원소에 대한 명시적 표현을 유도하는 것.
• 장식된 루트 트리의 호프 대수가 평면 이진 트리의 호프 대수와 동형임을 증명하는 것.
• 유한하거나 가чёт 가능한 장식 집합을 가진 이러한 호프 대수가 서로 동형이 되는 조건을 밝히는 것.

제안 방법

• 장식된 루트 트리의 새로운 호프 대수 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 를 도입하며, 이는 가환 경우를 일반화한다.
• 그레이드 쌍대 $({\cal H}^\mathcal{D}_{P,R})^{*g}$ 를 사용하여 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 위에 비퇴화된 호프 쌍대성 $(\cdot,\cdot)$ 를 구성한다.
• 숲 기저에 쌍대적인 기저 $\{e_F\}$ 를 정의하여 코프로덕트 계산과 원시 원소 식별을 단순화한다.
• 텐서 코알제브라의 결과를 적용하여 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 가 원시 원소들의 텐서 대수와 동형임을 보인다.
• 호크시لد 코homology의 보편 성질을 이용하여 대수 구조를 특성화한다.
• 아벨화와 수직 보완의 구조를 활용하여 원시 원소들의 대수가 리 대수로서 자유 생성됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가환 호프 대수의 루트 트리가 장식을 도입함으로써 비가환, 비코코ercive 환경으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 장식된 루트 트리 대수 위의 비퇴화된 호프 쌍대성의 구조는 무엇이며, 이를 어떻게 조합론적으로 해석할 수 있는가?
• RQ3 새로운 호프 대수의 원시 원소들은 트리의 조합론적 구조를 통해 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ4 장식된 루트 트리의 호프 대수와 평면 이진 트리의 호프 대수 사이에 동형성이 존재하는가?
• RQ5 다른 장식 집합을 가진 두 호프 대수가 서로 동형이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 호프 대수 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 는 원시 원소들의 텐서 대수와의 동형성에 의해 평면 이진 트리의 호프 대수와 동형임이 입증된다.
• 그레이드 쌍대 대수 $({\cal H}^\mathcal{D}_{P,R})^{*g}$ 는 $\mathcal{H}^\mathcal{D}_{P,R}$ 와 동형이 되며, 이는 비퇴화된 호프 쌍대성을 가능하게 한다.
• 원시 원소들의 대수는 아벨화와 수직 보완의 구조 분석을 통해 리 대수로서 자유 생성됨이 입증된다.
• 차수 $n$ 에서의 쌍대성 행렬 $A'_n$ 은 가역이며, $P'_n = (A'_n)^{-1}$ 이다. 또한 차수 4까지의 명시적 역행렬이 계산된다.
• 차수 1에서 4까지의 행렬 $A'_n$ 과 $P'_n$ 이 명시적으로 계산되었으며, 이는 쌍대성의 구조를 드러내고 역기저를 통해 원시 원소를 식별하는 데 기여한다.
• 모든 유한하거나 가чёт 가능한 장식 집합을 가진 장식된 루트 트리의 호프 대수들은 장식 집합의 원소 수가 동일할 때에만 그레이드 호프 대수로서 동형이 된다.