[논문 리뷰] Level sets of multiple ergodic averages

Aihua Fan, Lingmin Liao외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 16.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Riesz 곱을 사용하여 기호 동역학에서 다중 에르고딕 평균의 수준 집합의 다중분수적 구조를 연구한다. 이중 평균이 +1, -1의 원소로 이루어진 이진 수열 공간 {+1,−1}^N 위의 이동 시스템에서, 첫 번째 좌표의 ℓ중 평균에 대해, 수준 집합의 하우스도르프 차원은 1−1/ℓ + (1/ℓ)H((1+θ)/2)로 주어지며, 여기서 H는 이진 엔트로피 함수이다. 이는 고전적 결과를 고차 평균으로 확장한 것으로, 군에 대한 조화 해석학을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

We propose to study multiple ergodic averages from multifractal analysis point of view. In some special cases in the symbolic dynamics, Hausdorff dimensions of the level sets of multiple ergodic average limit are determined by using Riesz products.

연구 동기 및 목표

• 기호 동역계에서 다중 에르고딕 평균의 다중분수적 성질을 조사하는 것.
• 다중 에르고딕 평균이 주어진 값 θ ∈ [−1,1]으로 수렴하는 수준 집합의 하우스도르프 차원을 결정하는 것.
• 군 이론적 및 조화 해석학적 구조의 맥락에서, 단일 평균에서 다중 평균으로의 고전적 다중분수 분석을 확장하는 것.
• 비대칭적이거나 특성값을 가지지 않는 관측량으로 일반화할 때 Riesz 곱 방법의 한계를 탐색하는 것.
• 이진 수열에서 희소성 조건을 만족하는 특정 부분집합 X₀의 박스 차원을 계산하는 것.

제안 방법

• 기호 공간 D = {+1,−1}^N 의 군 구조를 이용하고, 관측량 x_k x_{2k} ... x_{ℓk} 를 군의 특성으로 식별한다.
• B_θ 에 기반을 두고, ∏_{k=1}^∞ (1 + θ ξ_k(x)) / 2 의 곱을 통해 Riesz 곱 측도 P_θ 를 구성한다. 여기서 ξ_k(x) = x_k x_{2k} ... x_{ℓk} 이다.
• Billingsley의 정리를 적용하여 P_θ 의 국소 차원과 B_θ 의 하우스도르프 차원을 연결한다.
• Rademacher 함수와 Walsh 체계의 독립성을 활용하여 실린더 측도의 로그 성장률을 계산한다.
• 지표를 이진 수준 C_k 로 분해하여, 조건 x_ℓ x_{2ℓ} = 0 하에서 허용 가능한 이진 수열의 수를 세는 데 사용한다.
• a_0=1, a_1=2, a_n = a_{n-1}+a_{n-2} 로 정의된 피보나치 유사 수열 a_n 을 사용하여 각 이진 수준의 유효한 구성 수를 세는 데 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℓ 개의 특성의 다중 에르고딕 평균이 θ ∈ [−1,1] 으로 수렴하는 수준 집합의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ2 Riesz 곱은 기호 체계에서 다중 에르고딕 평균의 수준 집합의 차원을 계산하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 이러한 수준 집합의 차원은 매개변수 θ 와 평균의 차수 ℓ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 모든 ℓ 에 대해 x_ℓ x_{2ℓ} = 0 인 이진 수열 집합 X₀ 의 박스 차원은 무엇인가?
• RQ5 왜 Riesz 곱 방법은 (x_1+1)/2 와 같은 지표 함수로 정의된 집합에서는 실패하는가?

주요 결과

• 수준 집합 B_θ 의 하우스도르프 차원은 정확히 1−1/ℓ + (1/ℓ)H((1+θ)/2) 이며, 여기서 H(t) = −t log₂ t − (1−t) log₂(1−t) 는 이진 엔트로피 함수이다.
• ℓ ≥ 2 이고 θ ∈ [0,1] 인 경우, B_θ 의 차원은 1−1/ℓ > 0 보다 엄밀히 크며, 양수이다.
• Riesz 곱 P_θ 는 B_θ 에 기반을 두고 있으며, B_θ 의 하우스도르프 차원과 동일한 국소 차원을 갖는다. 이는 Billingsley의 정리를 적용할 수 있음을 의미한다.
• 집합 X₀ = {x ∈ {0,1}^N : x_ℓ x_{2ℓ} = 0 for all ℓ} 의 박스 차원은 ∑_{n=1}^∞ (log₂ a_n)/2^{n+1} 이며, 여기서 a_n 은 a_0=1, a_1=2 인 피보나치 수열이다.
• X₀ 의 계산된 박스 차원은 약 0.8242936 이며, 이는 Kenyon, Peres, Solomyak 이 나중에 엄밀히 낮음을 증명한 하우스도르프 차원보다 엄밀히 크다.
• 관측량이 (x_1+1)/2 와 같은 지표 함수로 대체될 경우, 군 특성의 구조가 없기 때문에 Riesz 곱 방법은 실패한다. 이는 A_θ 의 경우에서 명백히 드러난다.