[논문 리뷰] Lewisian Fixed Points I: Two Incomparable Constructions

Tadeusz Litak, Albert Visser|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 23.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 직관적 모달 논리에서 명시적 고정점의 두 개별 구조를 조사하며, 주로 루이스 화살표를 주요 연결사로 갖는 공식에 초점을 맞춘다. 이는 de Jongh-Visser 및 de Jongh-Sambin 방법이 각각 상호 비교 불가능한 모달 이론인 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 와 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 를 도출하며, 이들의 확장 안정성과 비보존성을 증명하고, 그 합집합을 공리체계화하며 고정점 원리에 의해 정의된 부분이론을 분석한다.

ABSTRACT

Our paper is the first study of what one might call "reverse mathematics of explicit fixpoints". We study two methods of constructing such fixpoints for formulas whose principal connective is the intuitionistic Lewis arrow. Our main motivation comes from metatheory of constructive arithmetic, but the systems in question allows several natural semantics. The first of these methods, inspired by de Jongh and Visser, turns out to yield a well-understood modal system. The second one by de Jongh and Sambin, seemingly simpler, leads to a modal theory that proves harder to axiomatize in an elegant way. Apart from showing that both theories are incomparable, we axiomatize their join and investigate several subtheories, whose axioms are obtained as fixpoints of simple formulas. We also show that they are extension stable, that is, their validity in the corresponding preservativity logic of a given arithmetical theory transfer to its finite extensions.

연구 동기 및 목표

• 직관적 모달 논리에서 루이스 화살표를 주요 연결사로 갖는 공식에 대해 명시적 고정점을 생성하는 두 개별 방법을 분석하고 비교하는 것.
• 구성된 이론의 논리적 성질, 특히 구조적 산술의 맥락에서의 확장 안정성과 비보존성을 조사하는 것.
• 서로 상호 비교 불가능한 두 이론의 합집합을 공리체계화하고, 단순한 고정점 원리로 정의된 부분이론을 연구하는 것.
• ${\mathsf{i}A}^{-}$ 의 확장 중 ${\mathsf{i}A}$ 를 확장하지 않는 경우에 Kripke 대응 조건이 수행하는 역할을 명확히 하는 것.
• 직관적 맥락에서 명시적 고정점과 Beth 정의 가능성 성질 간의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• de Jongh 와 Visser 가 영감을 얻은 첫 번째 구조는 모달 체계 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 를 도출하며, 이는 잘 이해되고 기존 프레임워크에 의해 공리화되어 있다.
• de Jongh 와 Sambin 이 기반으로 한 두 번째 구조는 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 를 이끌어내며, 이는 우아한 공리화에 저항하고 더 깊은 분석이 필요로 한다.
• 논문은 모델의 구조와 논리 원리의 타당성을 분석하기 위해 대수학적 및 Kripke 의미론을 사용하며, Mace4 를 활용해 반모델을 생성하는 데도 활용한다.
• 논문은 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 의 네 가지 주요 부분이론을 도입하고, ${\mathsf{W}}^{\ast}$, ${\mathsf{W}}^{\circ}$, ${\mathsf{L}^{\circ}_{a}}$, 및 $4^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 와 같은 원리로 정의한다.
• 두 이론의 합집합은 각각의 공리들을 조합하고 논리적 닫힘 및 확장 안정성에 대한 닫힘을 증명함으로써 공리체계화된다.
• 논문은 고정점 계산의 기초 도구로 de Jongh-Sambin 알고리즘을 사용하며, 정의 가능성과 유일성의 분석에 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 de Jongh-Visser 및 de Jongh-Sambin 고정점 구조는 논리적으로 동치인가, 아니면 서로 다른 이론을 도출하는가?
• RQ2 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 는 Sambin 방식의 구조에서 유도된 이론이 우아하고 정제된 공리체계를 갖는가?
• RQ3 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 와 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 의 합집합은 공리체계화 가능한가, 그리고 그 논리적 구조는 어떠한가?
• RQ4 $44^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 는 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus 4^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 에서 유도되는가, 그리고 이는 Di 조건의 역할에 대해 무엇을 시사하는가?
• RQ5 ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 와 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 는 모두 확장 안정성을 갖는가, 즉 이론의 보존 논리에서의 타당성이 유한 확장으로까지 전이되는가?

주요 결과

• 두 고정점 구조는 상호 비교 불가능한 이론을 도출한다: ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 와 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 는 논리적으로 다르며, 서로를 포함하지 않는다.
• ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 는 확장 안정성을 갖는다. 즉, 어떤 산술 이론에 대해 성립한다면, 그 모든 유한 확장에 대해서도 성립한다.
• ${\mathsf{i}GL}_{\mathsf{a}}^{-}$ 와 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 의 합집합은 각각의 공리들을 조합함으로써 공리체계화되었으며, 일관성 있고 잘 정의된 것으로 입증되었다.
• $44^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 는 ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus 4^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 에서 유도되지 않으며, Mace4 를 통해 발견한 6원소 헤이팅 대수 반모델로 이를 입증하였다. 이는 Di 조건이 이러한 유도에 필수적임을 보여준다.
• ${\mathsf{i}A}^{-}\oplus{\mathsf{J}S}$ 는 Beth 정의 가능성 성질을 증명한다. 명시적 고정점은 정의 가능성을 암시하며, 이 결과는 이 체계의 모든 확장을 통해 유지된다.
• $4^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 를 정의하는 부분이론은 $44^{\circ}_{\mathsf{a}}$ 를 증명하지 못하며, 이는 고정점 원리 간의 엄격한 계층을 나타내며 Kripke 의미론에서 Di 조건의 중요성을 강조한다.