[논문 리뷰] Lie-algebraic classical simulations for quantum computing

Matthew L. Goh, Martín Larocca외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 08. 02.

Neural Networks and Reservoir Computing인용 수 10

한 줄 요약

g-sim이라는 프레임워크가 dynamical Lie algebras를 활용하여 특정 양자 회로의 확장 가능한 고전 시뮬레이션을 수행하고, VQA 풍경, 초기화, 회로 합성 및 양자 위상 분류에 걸친 시연.

ABSTRACT

The classical simulation of quantum dynamics plays an important role in our understanding of quantum complexity, and in the development of quantum technologies. Efficient techniques such as those based on the Gottesman-Knill theorem for Clifford circuits, tensor networks for low entanglement-generating circuits, or Wick's theorem for fermionic Gaussian states, have become central tools in quantum computing. In this work, we contribute to this body of knowledge by presenting a framework for classical simulations, dubbed "$\mathfrak{g}$-sim", which is based on the underlying Lie algebraic structure of the dynamical process. When the dimension of the algebra grows at most polynomially in the system size, there exists observables for which the simulation is efficient. Indeed, we show that $\mathfrak{g}$-sim enables new regimes for classical simulations, is able to deal with certain forms of noise in the evolution, as well as can be used to tackle several paradigmatic variational and non-variational quantum computing tasks. For the former, we perform Lie-algebraic simulations to train and optimize parametrized quantum circuits (thus effectively showing that some variational models can be dequantized), design enhanced parameter initialization strategies, solve tasks of quantum circuit synthesis, and train a quantum-phase classifier. For the latter, we report large-scale noiseless and noisy simulations on benchmark problems. By comparing the limitations of $\mathfrak{g}$-sim and certain Wick's theorem-based simulations, we find that the two methods become inefficient for different types of states or observables, hinting at the existence of distinct, non-equivalent, resources for classical simulation.

연구 동기 및 목표

• Lie-대수적(g-sim) 방법을 이용한 양자 역학의 고전적 시뮬레이션을 동인화하고 형식화한다.
• 동적 Lie 대수가 다항 차원으로 증가하는 조건을 식별하여 확장 가능한 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 회로 최적화, 초기화, 합성 및 QML 분류를 포함한 변분 양자 컴퓨팅 작업에 대한 g-sim의 적용 가능성을 시연한다.

제안 방법

• 회로 생성자 {H_k}로부터 동적 Lie 대수 g를 정의하고 이를 확장성의 핵심 지표로 차원을 계산한다.
• g-sim 프레임워크에서 adjoint 표현을 사용하여 기저 관측량의 기댓값 벡터를 진화시킨다.
• 바{H}_k = Φ_g^{ad}(H_k) 및 식 e_out = (∏ e^{-i θ_{lk} 바{H}_k}) e_in 를 이용하여 선형 진화를 통해 i g에서 observables O를 계산한다.
• 대수 관측값에 대해 시간 복잡도 O(L K dim(g)^2); 두 관측값의 곱에 대해 O(L K dim(g)^3); 기울기 계산은 O(L K dim(g)^2)로 확장된 효율성을 제공한다.
• 역전 모드 미분을 g-sim에 적응시켜 혼합-단위 채널 및 기울기 기반 최적화를 확장한다.
• VQE에서의 과매개화, 개선된 회로 초기화, 양자 회로 합성, 양자 위상 분류의 네 가지 작업에서 g-sim을 시연한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lie-대수 시뮬레이션이 양자 회로에 대해 고전적으로 확장 가능하도록 만드는 조건은 무엇인가?
• RQ2 g-sim 프레임워크를 활용하여 변분 양자 컴퓨팅의 최적화, 초기화, 합성 및 QML 작업을 어떻게 개선할 수 있는가?
• RQ3 g-sim 내에서 관측값과 상관관계의 시뮬레이션 계산 복잡도는 어떻게 되며, 이를 순수 상태벡터 방법과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 g-sim을 혼합-단위 동역학 및 기울기 기반 학습 프레임워크로 확장할 수 있는가?
• RQ5 VQAs 및 QML 모델의 벤치마킹 및 개발에 대해 g-sim 기반 시뮬레이션이 제공하는 실질적 이점은 무엇인가?

주요 결과

• g-sim은 dim(g)이 시스템 규모에 따라 다항적으로 증가할 때 다항 시간 확장을 제공하여 순진한 방법을 넘어 특정 양자 회로의 고전 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• Adjoint 표현은 g로 지원되는 관측값의 기댓값 및 기울기 계산을 효율적으로 가능하게 하며 증명된 복잡도를 제공한다.
• 대수 관측값의 경우 진화가 실수 선형 대수에 축소되며 시간 복잡도는 O(L K dim(g)^2)이다; 두 대수 관측값의 곱의 경우 O(L K dim(g)^3이다.
• g-sim의 역전 모드 differentiation을 통한 기울기 계산은 주어진 형태의 회로에서 O(L K dim(g)^2) 복잡도를 달성한다.
• 벤치마크에서 상태벡터 방법은 기하급수적으로 확장되는 반면, g-sim은 다항적으로 확장되어 테스트된 설정에서 단일 CPU 코어로 수백 큐빗까지 시뮬레이션 가능성을 보여준다.
• VQAs, 회로 초기화, 회로 합성 및 양자 위상 분류에 걸친 응용은 g-sim의 실용적 양자 컴퓨팅 작업에서의 다재다능성을 보여준다.