[논문 리뷰] Lie algebras of differential operators: The universal ring

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 8인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 가환환 위의 모듈러스에 대한 비평탄 연결에 대해 일반적인 링 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$를 도입하며, 평탄한 연결을 초월한 D-모듈 이론을 일반화한다. 비아벨리안 확장에 기반한 $\operatorname{D}$-리 대수를 사용하여, $A$가 노에테르이면서 모듈러스가 유한 생성일 경우 $\operatorname{Diff}(E)$의 노에테르 부분환을 구성함으로써, 비평탄 연결에 대해 특성다양체와 홀로노미시티를 정의할 수 있게 되며, 비노에테르 링 $\operatorname{U}$ 위에서 $\operatorname{Ext}$와 $\operatorname{Tor}$를 통해 코homology와 호모로지도 정의할 수 있다.

ABSTRACT

The aim of this note is to prove various general properties of a generalization of the full module of first order differential operators on a commutative ring - a $\operatorname{D}$-Lie algebra. A $\operatorname{D}$-Lie algebra $ ilde{L}$ is a Lie-Rinehart algebra over $A/k$ equipped with an $A\otimes_k A$-module structure that is compatible with the Lie-structure. It may be viewed as a simultaneous generalization of a Lie-Rinehart algebra and an Atiyah algebra with additional structure. Given a $\operatorname{D}$-Lie algebra $ ilde{L}$ and an arbitrary connection $( ho, E)$ we construct the universal ring $ ilde{U}^{\otimes}( ilde{L}, ho)$ of the connection $( ho, E)$. The associative unital ring $ ilde{U}^{\otimes}( ilde{L}, ho)$ is in the case when $A$ is Noetherian and $ ilde{L}$ and $E$ finitely generated $A$-modules, an almost commutative Noetherian sub ring of $\operatorname{Diff}(E)$ - the ring of differential operators on $E$. It is constructed using non-abelian extensions of $\operatorname{D}$-Lie algebras. The non-flat connection $( ho, E)$ is a finitely generated $ ilde{U}^{\otimes}( ilde{L}, ho)$-module, hence we may speak of the characteristic variety $\operatorname{Char}( ho,E)$ of $( ho, E)$ in the sense of $D$-modules. We may define the notion of holonomicity for non-flat connections using the universal ring $ ilde{U}^{\otimes}( ilde{L}, ho)$. This was previously done for flat connections. We also define cohomology and homology of arbitrary non-flat connections. The cohomology and homology of a non-flat connection $( ho,E)$ is defined using $\operatorname{Ext}$ and $\operatorname{Tor}$-groups of a non-Noetherian ring $\operatorname{U}$. In the case when the $A$-module $E$ is finitely generated we may always calculate cohomology and homology using a Noetherian quotient of $\operatorname{U}$. This was previously done for flat connections.

연구 동기 및 목표

• 임의의 연결에 대해 일반 링을 구성함으로써 D-모듈 이론을 평탄한 연결을 초월해 일반화하는 것.
• 일반 링 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$를 사용하여 비평탄 연결에 대해 홀로노미시티와 특성다양체를 정의하는 것.
• 비노에테르 링 위에서 비평탄 연결에 대해 코homological 및 호모로지 불변량을 $\operatorname{Ext}$와 $\operatorname{Tor}$를 통해 확장하는 것.
• 모듈러스 $E$가 유한 생성일 경우 코homology와 호모로지를 계산할 수 있도록 보장하기 위해, $\operatorname{U}$의 노에테르 몫을 통해 계산 가능성을 확보하는 것.

제안 방법

• 비아벨리안 확장에 기반해 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$를 구성하는 것.
• $\tilde{L}$에 $A \otimes_k A$-모듈 구조를 도입하여 그 리 대수 구조와 호환되게 하며, 리-린하르트 및 아티야 대수의 일반화를 이루는 것.
• 비평탄 연결에 대해 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$의 스펙트럼의 부분집합으로서 특성다양체 $\operatorname{Char}(\rho, E)$를 정의하는 것.
• 비노에테르 링 $\operatorname{U}$ 위에서 $\operatorname{Ext}$와 $\operatorname{Tor}$-군을 사용하여 연결 $(\rho, E)$의 코homology와 호모로지를 정의하는 것.
• 모듈러스 $E$가 유한 생성일 경우 코homology와 호모로지를 계산하기 위해 $\operatorname{U}$의 노에테르 몫을 사용할 수 있음을 보이며, 계산 가능성을 보장하는 것.
• 클래식한 기준을 일반 링 프레임워크로 일반화함으로써 비평탄 연결에 대해 홀로노미시티를 정의하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 링 구성에 의해 D-모듈 이론을 비평탄 연결으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 평탄성이 없을 경우 비평탄 연결에 대한 특성다양체의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 비노에테르 링 위에서 $\operatorname{Ext}$와 $\operatorname{Tor}$를 사용해 비평탄 연결에 대해 코homology와 호모로지를 정의할 수 있는가?
• RQ4 비평탄 연결의 코homology와 호모로지를 효과적으로 계산할 수 있는 조건는 무엇인가?
• RQ5 일반 링 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$를 사용해 비평탄 연결에 대해 홀로노미시티의 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 가환환 $A$가 노에테르이면서 $\tilde{L}$, $E$가 유한 생성 $A$-모듈일 경우, 일반 링 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$는 $\operatorname{Diff}(E)$의 거의 교환 노에테르 부분환이다.
• 비평탄 연결 $(\rho, E)$는 $\tilde{U}^\otimes(\tilde{L}, \rho)$의 유한 생성 모듈러스가 되며, 이에 따라 그 특성다양체 $\operatorname{Char}(\rho, E)$를 정의할 수 있다.
• 비평탄 연결에 대한 홀로노미시티는 일반 링을 통해 정의되며, 평탄 연결에서의 고전적 개념을 일반화한다.
• 연결 $(\rho, E)$의 코homology와 호모로지는 비노에테르 링 $\operatorname{U}$ 위에서 $\operatorname{Ext}$와 $\operatorname{Tor}$-군을 사용하여 정의된다.
• 모듈러스 $E$가 유한 생성일 경우 코homology와 호모로지는 $\operatorname{U}$의 노에테르 몫을 통해 계산 가능하며, 실용적인 계산 가능성을 보장한다.
• 비아벨리안 확장에 기반한 $\operatorname{D}$-리 대수의 구성은 D-모듈 불변량을 비평탄 설정으로 일반화하기 위한 체계적인 프레임워크를 제공한다.