[논문 리뷰] Lie groupoids and algebroids applied to the study of uniformity and homogeneity of material bodies

Víctor Manuel Jiménez, Manuel de León외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 14.

Elasticity and Material Modeling참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 탄성 물질체의 균일성과 동질성을 기술하기 위해 물질군렬과 그에 관련된 물질다발을 도입한다. 물질다발에 담긴 무한소 대칭을 국소적·전역적 동질성과 연결함으로써, 고전적 G-구조 접근법을 일반화하여 기계적 비균일성의 존재하는 물질, 예를 들어 기능적 경량 구조를 포함한 물질의 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A Lie groupoid, called extit{material Lie groupoid}, is associated in a natural way to any elastic material. The corresponding Lie algebroid, called extit{material algebroid}, is used to characterize the uniformity and the homogeneity properties of the material. The relation to previous results in terms of $G-$structures is discussed in detail. An illustrative example is presented as an application of the theory.

연구 동기 및 목표

• 연속체역학에서 물질 대칭성을 분석하기 위한 Lie 군렬과 다발 기반 기하학적 프레임워크를 개발하는 것.
• G-구조 이론이 균일한 물체에만 적용 가능하다는 한계를 극복하기 위해 군렬 이론을 활용하여 비균일 물질을 포함시키는 것.
• 특히 벡터장의 일관성에 의해 특징지어지는 물질다발의 성질을 통해 국소적·전역적 동질성을 기술하는 것.
• 예를 들어 타입 A 스메크틱 액정과 같은 단순 물질의 구성방정식에서 직접적으로 물질다발을 구성하는 것.
• 노울의 균일성 및 국소적 동질성 개념을 포함한 이전의 물질 대칭 결과를 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 물질체의 서로 다른 점들에서의 접공간 간의 모든 물질 동형사상을 모아서 물질 Lie 군렬을 정의하며, 이는 기계적 반응을 유지한다.
• 물질군렬의 무한소 형태로서 국소 대칭을 코딩하는 관련된 물질 Lie 다발을 구성한다.
• 1-차 미분군렬 Π¹(B,B) 내의 Lie 부분군렬의 적분 가능성을 이용하여 전역 대칭과 물질다발의 구조를 연결한다.
• Cosserat 매체로 모델링된 단순 액정의 클래스에 이론을 적용하여, 그 구성방정식을 이용해 직접적으로 물질다발을 유도한다.
• 메트릭과 벡터장 e의 편미분의 소멸을 분석함으로써 동질성을 기술한다. 이는 좌표 불변성 조건을 이끈다.
• 표준 좌표계에서 균일성이면 국소적 동질성이 전역적 동질성을 유도하며, 이는 해당 좌표계에서 벡터장 e가 일정함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lie 군렬과 Lie 다발을 어떻게 사용하여 G-구조 이론의 범위를 초월해 물질의 균일성을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 물질다발에 어떤 조건이 성립하면 물질체의 국소적·전역적 동질성이 보장되는가?
• RQ3 어떻게 단순 물질, 예를 들어 타입 A 스메크틱 액정의 구성방정식에서 직접적으로 물질다발을 구성할 수 있는가?
• RQ4 좌표계에서 벡터장 e의 일관성이 물질체의 동질성과 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 1-차 미분군렬 내의 Lie 부분군렬의 적분 가능성과 균일성 및 동질성의 물리적 성질 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 물질다발은 이전의 G-구조 기반 접근법을 일반화하여 균일성과 동질성의 완전한 무한소 기술을 제공한다.
• 물질체가 국소적으로 동질적일 조건은 표준 좌표계에서 벡터장 e가 일정할 때이며, 즉 e = λⁱ∂/∂xⁱ 이고 λⁱ 가 일정할 때이다.
• 표준 좌표계가 균일할 경우 국소적 동질성이 전역적 동질성을 유도하며, 이는 해당 좌표계에서 메트릭 성분이 일정함을 의미한다.
• 동질성 조건은 ∂eⁱ/∂xᵏ = 0 과 ∂Fˡᵐ/∂xᵏ = 0 가 소멸할 때로 축소되며, 이는 물질 공간와 외부 공간 간의 좌표 변환이 애파인임을 의미한다.
• 단순 물질, 예를 들어 타입 A 스메크틱 액정의 경우 구성방정식에서 직접적으로 물질다발을 구성할 수 있으며, 이는 기하학적 직접 분석을 가능하게 한다.
• G-구조 방법이 전단이 없는 대칭성 부족으로 비균일 물질, 예를 들어 기능적 경량 구조에서 실패하는 데 비해, 이 프레임워크는 이러한 비균일 물질로도 성공적으로 확장된다.