[논문 리뷰] Lie-Hopf algebras and their Hopf cyclic cohomology

Bahram Rangipour, Serkan Sütlü|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 매칭된 리 대수, 리 군, 아핀 대수적 군의 쌍으로부터 비가환, 비코코커터티브 히프 대수를 구성하기 위한 프레임워크로 리-홉프 대수를 도입한다. 이를 통해 특정한 SAYD 모듈을 계수로 하는 결과적인 이중곱 히프 대수의 코homology가, 불변성 및 미분 작용 조건 하에서 매칭된 리 대수에 대한 상대 리 대수 코homology와 동형임을 보여, 이러한 구조들과 히프 순환 코hom로의 정규적인 연결을 확립한다.

ABSTRACT

The correspondence between Lie algebras, Lie groups, and algebraic groups, on one side and commutative Hopf algebras on the other side are known for a long time by works of Hochschild-Mostow and others. We extend this correspondence by associating a noncommutative noncocommutative Hopf algebra to any matched pair of Lie algebras, Lie groups, and affine algebraic groups. We canonically associate a modular pair in involution to any of these Hopf algebras. More precisely, to any locally finite representation of a matched pair object as above we associate a SAYD module to the corresponding Hopf algebra. At the end, we compute the Hopf cyclic cohomology of the associated Hopf algebra with coefficients in the aforementioned SAYD module in terms of Lie algebra cohomology of the Lie algebra associated to the matched pair object relative to an appropriate Levi subalgebra with coefficients induced by the original representation.

연구 동기 및 목표

• 매칭된 리 대수, 리 군, 아핀 대수적 군의 쌍을 통해 비가환, 비코코커터티브 히프 대수로의 고전적 대응관계를 확장한다.
• 결과적인 이중곱 히프 대수를 사전에 전체 대수를 가정하지 않고도 구성할 수 있는 개념적 도구로서 리-홉프 대수를 정의한다.
• 이러한 히프 대수에 대해 모듈러 쌍과 SAYD 모듈의 클래스를 정규적으로 연계한다.
• 결과적인 히프 대수의 히프 순환 코hom로지를 상대 리 대수 코hom로지의 형태로 계산한다.

제안 방법

• 매칭된 리 대수, 리 군, 아핀 대수적 군의 쌍을 기록하는 대수적 구조로서 리-홉프 대수를 정의한다.
• 쌍대성과 코액션 호환성에 기반하여 이러한 매칭된 쌍으로부터 이중곱 히프 대수를 구성한다.
• 군의 함수 대수와 그 리 대수의 보편 포락 대수 사이의 히프 대칭을 확립한다.
• 작용과 코작용 간의 호환성을 보장하기 위해 $(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)$-관련 히프 대수의 개념을 도입한다.
• 히프 대수의 $\mathcal{F}$-레비 분해를 정의하여 고전적 레비 분해를 비가환 설정으로 일반화한다.
• 이중복합체 구조를 사용하여 히프 순환 코hom로지를 계산하고, 이중복합체의 사상에 의해 주요 동형을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매칭된 리 대수 또는 리 군의 쌍으로부터 체계적으로 비가환, 비코코커터티브 히프 대수를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 매칭된 쌍으로부터 유도된 히프 대수가 코액션 구조와 호환되는 레비 분해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 히프 대수의 히프 순환 코hom로지는 기저 매칭 리 대수에 대한 상대 리 대수 코호모로지와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이중곱 히프 대수의 코호모로지는 리 대수 코호모로지와 히프 순환 코호모로지의 구조를 조합한 이중복합체를 통해 계산될 수 있는가?
• RQ5 유도된 SAYD 모듈과 모듈러 쌍이 이 코호모로지 대응에서 정확히 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 결과적인 이중곱 히프 대수 $\mathcal{F} \blacktriangleright\vartriangleleft U(\mathfrak{g}_1)$의 유도된 SAYD 모듈 $^\sigma M_\delta$를 계수로 하는 히프 순환 코호모로지는 $\bigoplus_{i=\bullet \text{ mod } 2} H^i(\mathfrak{a}, \mathfrak{h}, M)$의 직합과 동형이며, 여기서 $\mathfrak{a} = \mathfrak{g}_1 \bowtie \mathfrak{g}_2$ 이고 $\mathfrak{h}$는 $\mathcal{F}$-레비 부분대수이다.
• 매칭된 리 군 $(G_1, G_2)$에 대해, $R(G_2) \blacktriangleright\vartriangleleft U(\mathfrak{g}_1)$의 히프 순환 코호모로지가 대표 모듈 $M$을 계수로 하면 $\bigoplus_{i=\bullet \text{ mod } 2} H^i(\mathfrak{g}_1 \bowtie \mathfrak{g}_2, \mathfrak{h}, M)$과 동형이며, 조건으로서 $\mathfrak{h}$가 $\mathfrak{g}_1$-불변이면서 $\mathfrak{g}_1$ 위에서 미분 작용을 해야 한다.
• 매칭된 아핀 대수적 군 $(G_1, G_2)$에 대해 레비 분해 $G_2 = G_2^{\text{red}} \rtimes G_2^{\text{u}}$가 존재할 경우, $\mathcal{P}(G_2) \blacktriangleright\vartriangleleft U(\mathfrak{g}_1)$의 히프 순환 코호모로지가 다항식 $G_1 \bowtie G_2$-모듈 $M$을 계수로 하면 $\bigoplus_{i=\bullet \text{ mod } 2} H^i(\mathfrak{g}_1 \bowtie \mathfrak{g}_2, \mathfrak{g}_2^{\text{red}}, M)$과 동형이다.
• 리-홉프 대수를 통한 히프 대수의 구성은 전체 대수를 사전에 주지 않더라도 이중곱 히프 대수임을 증명하는 데 짧고 개념적인 방법을 제공한다.
• $R(G_2)$와 $U(\mathfrak{g}_2)$ 사이의 쌍대는 $U(\mathfrak{g}_1)$-균형을 이루며, 이는 코액션과의 호환성을 보장하고 코호모로지 동형을 가능하게 한다.
• $\mathfrak{g}_2$의 $\mathcal{F}$-레비 분해는 함수 대수 $\mathcal{F}$에도 해당하는 분해를 유도하며, 이는 고전적 개념을 비가환 설정으로 일반화한다.