[논문 리뷰] Lie monads and dualities

Isar Goyvaerts, Joost Vercruysse|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 27.

Advanced Topics in Algebra인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 추가적 모나드 카테고리에서 리 대수와 코대수의 범주론적 일반화로 리 모나드와 리 코모나드를 도입하며, 무한차원 설정에서의 쌍대 이론을 가능하게 한다. 강한 쌍대성은 리 (코)대수 간의 쌍대성과 정확히 그들의 관련 리 모나드와 코모나드 사이의 동형사상에 대응하며, 타케우치 쌍대성과 통해 히프 대수에 응용되고, 원자적/분해 불가능한 원소들과 연결된다.

ABSTRACT

We study dualities between Lie algebras and Lie coalgebras, and their respective (co)representations. To allow a study of dualities in an infinite-dimensional setting, we introduce the notions of Lie monads and Lie comonads, as special cases of YB-Lie algebras and YB-Lie coalgebras in additive monoidal categories. We show that (strong) dualities between Lie algebras and Lie coalgebras are closely related to (iso)morphisms between associated Lie monads and Lie comonads. In the case of a duality between two Hopf algebras -in the sense of Takeuchi- we recover a duality between a Lie algebra and a Lie coalgebra -in the sense defined in this note- by computing the primitive and the indecomposables elements, respectively.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 설정을 넘어서 리 대수와 리 코대수 간의 쌍대성 이론을 확장하기 위해.
• 추가적 모나드 카테고리에서 양-바이저-리 대수와 코대수의 특수한 경우로서 리 모나드와 코모나드를 정의하기 위해.
• 리 (코)대수의 쌍대성과 그에 관련된 (코)모나드 간의 동형사상 사이의 대응관계를 확립하기 위해.
• 히프 대수에서 원자적 원소와 분해 불가능한 원소 간의 기존 쌍대성을 새로운 범주론적 프레임워크 내에서 복원하기 위해.
• 강한 쌍대성 하에서 유도된 모나드-코모나드 동형사상에 의해 모듈 및 코모듈 카테고리가 동치가 됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 대칭이 필요하지 않은 리 대수를 일반화하기 위해 추가적 모나드 카테고리에서 양-바이저-리 대수(YB-Lie algebras)를 도입하기 위해.
• 객체의 토글(twist)에서 유도된 국소 대칭을 사용하여, 형태 $-\otimes L$인 리 모나드와 $\mathrm{Hom}(C, -)$인 리 코모나드를 구성하기 위해.
• 폐쇄된 모나드 카테고리에서 자연 변환을 통해 YB-Lie 대수 $L$과 YB-Lie 코대수 $C$ 사이의 쌍대성을 정의하기 위해, 호환 조건을 만족시키는 조건을 설정하기 위해.
• 관련된 리 모나드 $-\otimes L$과 코모나드 $\mathrm{Hom}(C, -)$ 사이의 사상이 그들의 (코)모듈 카테고리 간의 함자를 유도함을 보여주기 위해.
• 유도 함자 $\underline{\sf Ind}$와 평가 사상 $\mathrm{ev}$를 사용하여 히프 대수의 모듈 카테고리와 그 원자적 및 분해 불가능한 원소들의 리 모듈 카테고리 간의 관계를 설정하기 위해.
• 타케우치 쌍대 $(H,K,\Diamond)$에 대해, $\mathrm{Mod}(H)$, $\mathrm{LieMod}(P(H))$, $\mathrm{CoMod}(K)$, $\mathrm{LieCoMod}(Q(K))$ 사이의 함자 다이어그램이 교차함을 보여주어, 강한 쌍대성 하에서 범주적 동치를 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 설정을 넘어서, 유한 쌍대 $L^\circ$가 부족한 무한차원 설정에서 리 대수와 리 코대수 간의 쌍대성을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 특히 브레이딩이 존재하는 비대칭 모나드 카테고리에서 리 대수와 코대수를 일반화하는 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 리 모나드와 리 코모나드 간의 동형사상이 기저 리 (코)대수 간의 쌍대성과 어떻게 대응되는가?
• RQ4 히프 대수에서 원자적 원소와 그 쌍대의 분해 불가능한 원소 간의 쌍대성은 이 모나드 프레임워크 내에서 복원 가능한가?
• RQ5 어떤 조건에서 강한 쌍대성 하에서 유도된 모나드-코모나드 동형사상에 의해 히프 대수의 모듈 및 코모듈 카테고리가 동치가 되는가?

주요 결과

• 추가적 모나드 카테고리에서 YB-Lie 대수는 형태 $-\otimes L$인 리 모나드와 정확히 일대일 대응되며, YB-Lie 대수 위의 리 모듈은 관련된 리 모나드의 Eilenberg-Moore 카테고리와 동치이다.
• YB-Lie 대수 $L$과 YB-Lie 코대수 $C$ 사이에 강한 쌍대성이 존재하는 것은 유도된 리 모나드 사상 $-\otimes L \to \mathrm{Hom}(C, -)$가 동형사상임과 정확히 동치이다.
• 모나드-코모나드 사상이 동형이면, $L$과 $C$의 (코)모듈 카테고리는 동치가 되며, 이는 범주론적 쌍대성을 확립한다.
• 타케우치 쌍대 $(H,K,\Diamond)$에 대해, $\mathrm{Mod}(H)$, $\mathrm{LieMod}(P(H))$, $\mathrm{CoMod}(K)$, $\mathrm{LieCoMod}(Q(K))$ 사이의 유도된 함자들이 교차함을 보여주며, 쌍대성 프레임워크의 일관성을 확인한다.
• 브레이드된 히프 대수 $H$의 원자적 원소 $P(H)$는 YB-Lie 대수를 이루며, 분해 불가능한 원소 $Q(H)$는 YB-Lie 코대수를 이룬다. 이들의 쌍대성은 평가 사상에 의해 유도된다.
• 마이클리스 쌍대 $(P(H^\circ), Q(H), \mathrm{ev})$ 는 항상 강한 쌍대성이며, $P(H^\circ) \cong Q(H)^*$ 임을 보여주며, 고전적인 쌍대성 결과를 범주론적 맥락에서 일반화한다.