[논문 리뷰] Lie n-groupoids and stacky Lie groupoids

Chenchang Zhu|ArXiv.org|2006. 09. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고도수 호모토피 군이 2차수 이상에서 자명한 단순형 다양체인 리 2군oids와 다양한 미분 스택 내부의 군oids인 스택형 리 군oids(SLie 군oids) 사이에 1대1 대응 관계를 수립한다. 이 대응 관계는 모리타 동치를 통해 구성되며, 칸 조건과 모리타 비버들로 고차원 카테고리적 구조를 표현하고, 스택형 리 군oids 내의 역원 사상이 기본적인 모리타 비버들 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$을 통해 동치로 정의될 수 있음을 보여주며, 이는 고차원 군oids 내의 역원 개념을 일반화한다.

ABSTRACT

We discuss two sorts of generalization of Lie groupoids. One is Lie $n$-groupoids defined as simplicial manifolds with trivial $π_{k\geq n+1}$. The other is the stacky Lie groupoid $\cG ra M$ with $\cG$ a differentiable stack. We build 1-1 correspondence between Lie 2-groupoids and stacky Lie groupoids up to a certain Morita equivalence. Equivalences of these higher groupoids are described.

연구 동기 및 목표

• 고도수 호모토피 군이 $n$차수 이상에서 자명한 단순형 다양체로 정의된 리 $n$-군oids를 도입함으로써 리 군oids를 고차원 카테고리적 구조로 일반화한다.
• 다양체 스택 내부의 군oids인 스택형 리 군oids(SLie 군oids)를 정의하여 비적분 가능 리 대수oid의 적분을 가능하게 한다.
• 모리타 동치에 관해 리 2군oids와 스택형 리 군oids 사이에 1대1 대응 관계를 수립함으로써 리 대수oid 이론에서의 비적분 가능성 문제를 해결한다.
• 스택형 리 군oids 내의 역원 사상이 그룹oids의 표현에서 군oids 동형사상이 필요로 하지 않는 한 가지 기본적인 모리타 비버들 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$을 통해 동치로 정의될 수 있음을 보인다.

제안 방법

• 모든 고차원 합성과 그 유일성이 $n$차수까지 보장되도록 하기 위해, $m < n$에 대해 칸 조건 $Kan(m,j)$와 유일성 조건 $Kan!(m,j)$를 만족하는 리 $n$-군oids를 단순형 다양체로 정의한다.
• 단순형 집합과 단순형 다양체를 사용하여 고차원 군oids를 모델링하며, $n$-단순형이 $n$-모르피즘을 나타내고, 면과 분해 사상이 원천, 목표 및 합성 연산을 표현한다.
• 모리타 비버들과 양호한 차트를 사용하여 $X_2 \rightrightarrows X_1 \to X_0$ 형태의 단순형 다양체를 구성함으로써 스택형 리 군oids로부터 리 2군oids를 수립한다. 이때 칸 조건이 만족되도록 보장한다.
• 리 2군oids로부터 스택형 리 군oids를 구성하기 위해 군oids의 네비를 통해 스택 $\mathcal{G}$를 정의하고, 모리타 동치와 비버들 동형사상을 사용하여 스택형 군oids의 공리가 만족됨을 증명한다.
• 양방향 구성이 동치에 관해 서로 역관계임을 보여줌으로써 리 2군oids와 스택형 리 군oids 사이의 모리타 동치를 증명한다. 이때 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$이 $G$에서 $G^{op}$로의 모리타 비버들임을 이용한다.
• 모리타 비버들을 사용하여 스택형 리 군oids 내의 역원 사상을 표현하며, 이러한 비버들의 존재가 잘 정의된 역원 1-모르피즘의 존재를 암시함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고도수 호모토피 군이 $n$차수 이상에서 자명한 단순형 다양체로 정의된 리 $n$-군oids는 고차원 리 이론의 자연스러운 프레임워크를 제공할 수 있는가?
• RQ2 스택형 리 군oids(SLie 군oids)는 비적분 가능 리 대수oid를 어떻게 적분할 수 있으며, 전통적인 리 군oids와의 관계는 어떠한가?
• RQ3 모리타 동치 하에서 리 2군oids와 스택형 리 군oids 사이에 1대1 대응 관계가 존재하는가? 그리고 이는 어떻게 구성되는가?
• RQ4 스택형 리 군oids 내의 역원 사상이 표현에서 군oids 동형사상이 필요로 하지 않는 한 가지 기본적인 모리타 비버들로만 정의될 수 있는가?
• RQ5 비버들 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$이 모리타 동치임을 보장하는 조건은 무엇이며, 이는 역원의 존재와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모리타 동치에 관해 리 2군oids와 스택형 리 군oids 사이에 1대1 대응 관계가 수립되었으며, 모든 리 2군oids가 스택형 리 군oids로부터 유도되고 반대로 모든 스택형 리 군oids가 리 2군oids로부터 유도됨을 보였다.
• 스택형 리 군oids 내의 역원 사상은 $G$에서 $G^{op}$로의 모리타 비버들 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$의 존재와 동치이며, 이는 군oids 동형사상이 필요로 하지 않는 방식으로 역원 1-모르피즘을 표현한다.
• 비버들 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$은 자연스럽게 역원의 2-항등원 공리를 만족하며, 그 주로성은 역원 구성의 유일성을 보장한다.
• $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$을 통한 역원의 구성은 추가적인 선택 없이 결정적이며, 전통적인 군oids 내의 역원 사상의 일반화이다.
• 논문은 스택형 리 군oids 내의 역원 사상이 군oids 동형사상 $i: G \to G$로 주어질 때이고, 오직 그때만 $E_m \times_{J_r, G_0, e} M$이 $G_0$ 위의 자명한 오른쪽 $G$-주요 다발이 되는 것을 보였다.
• 리 2군oids와 스택형 리 군oids 사이의 대응 관계는 1-모리타 동치에 대해 안정적이며, 양방향 구성은 이 동치에 대해 서로 역관계에 있다.