[논문 리뷰] Lie rackoids integrating Courant algebroids

Camille Laurent-Gengoux, Friedrich Wagemann|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 16.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{T}M = TM \oplus T^*M$ 위의 표준 쿠르앙 대수다발을 도르만 브라켓의 자동형사슬을 통해 유도된 랙곱을 통해 통합하는 무한차원 리 랙코이드 $Y = \mathcal{C}^\infty([0,1], T^*M)$를 제안한다. 주요 기여는 적절한 동치관계에 대한 $Y$의 몫이 통합 가능한 딜라 구조를 통합하는 웨인슈타인 리 군oids를 제공하며, 랙코이드 곱이 경로 위에서 이편분할의 작용을 복원한다는 것이다.

ABSTRACT

We construct an infinite dimensional Lie rackoid Y which hosts an integration of the standard Courant algebroid. As a set, Y = C $\infty$ ([0, 1], T * M) for a compact manifold M. The rackoid product is by automorphisms of the Dorfman bracket. The first part of the article is a study of the Lie rackoid Y and its tangent Leibniz algebroid a quotient of which is the standard Courant algebroid. In a second part, we study the equivalence relation related to the quotient on the rackoid level and restrict then to an integrable Dirac structure. We show how our integrating object contains the corresponding integrating Weinstein Lie groupoid in the case where the Dirac structure is given by a Poisson structure.

연구 동기 및 목표

• 콤���한 다양체 $M$에 대해 $\mathbb{T}M = TM \oplus T^*M$ 위의 표준 쿠르앙 대수다발을 통합하는 전역 미분기하학적 대상—특히 리 랙코이드—을 구성하는 것.
• 이전의 계층화된 미분기하학 접근법의 한계를 극복하여, 통합 가능한 딜라 구조를 통합하는 웨인슈타인 리 군oids를 자연스럽게 복원할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.
• Y 위의 랙코이드 구조, 도르만 브라켓 자동형사슬, 그리고 그로 인해 유도되는 몫 위의 군oids 구조 사이의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 리 랙코이드 $Y$는 코탄젠트 번들의 매끄러운 경로들의 공간으로 정의되며, 구간 $[0,1]$의 끝점에서의 평가를 통해 소스 및 타겟 사상이 주어진다.
• 이편분할 $\Sigma = (\phi_t, \eta_t)$ 위의 랙곱은 미분형사 $\phi_1$과 닫힌 2형식 $d\beta_\Sigma$를 통해 정의되며, $\beta_\Sigma = \int_0^1 \phi_s^*\eta_s \, ds$로 주어지며, 도르만 브라켓의 구조를 유지한다.
• Y의 접선 리블니츠 대수다발이 표준 쿠르앙 대수다발과 동형인 몫을 갖는 것으로 보여져, 무한소적 호환성을 확인한다.
• Y 위에 동치관계 $\sim$를 정의하며, 이는 프레셰 폴리아션과 대응하며, 딜라 구조를 보존하는 이편분할의 작용에 의해 동치로 간주되는 경로들을 식별한다.
• 딜라 구조 $D \subset \mathbb{T}M$에 대해, $Y$의 부분대상 $Y_D \subset Y$는 $D$ 안에 있는 경로들로 구성되며, $Y_D / \sim$가 리 군oids의 구조를 지닌다.
• Y_D / \sim 위의 랙코이드 곱이 웨인슈타인 군oids 위에서 이편분할의 수반 작용과 정확히 일치함을 증명하여, 랙코이드 구성이 고전적 통합 이론과 연결됨을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식한 통합 방법이 적용되지 않는 리 대수다발이 아닌 쿠르앙 대수다발을 통합하는 전역적인 미분기하학적 대상을 구성할 수 있는가?
• RQ2 Y 위의 랙코이드 구조는 어떻게 통합 가능한 딜라 구조에 대한 웨인슈타인 리 군oids를 복원하는가?
• RQ3 Y의 이편분할 위의 랙코이드 곱과 딜라 구조를 통합하는 리 군oids 위에서 이편분할의 수반 작용 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 리 랙코이드 $Y$의 동치관계 $\sim$에 대한 몫이, 항등원에서의 접선공간이 쿠르앙 대수다발과 일치하는 다양체 구조를 갖는가?

주요 결과

• 무한차원 리 랙코이드 $Y = \mathcal{C}^\infty([0,1], T^*M)$는 도르만 브라켓 자동형사슬에서 유도된 매끄러운 랙곱을 갖는 이편분할 위에서 구성되었으며, 이는 도르만 브라켓의 자동형사슬을 통해 유도된다.
• Y의 접선 리블니츠 대수다발은 $\mathbb{T}M$ 위의 표준 쿠르앙 대수다발과 동형인 몫을 갖는 것으로 보여져, 무한소적 호환성을 확인한다.
• Y 위의 동치관계 $\sim$는 프레셰 폴리아션을 유도하며, 몫 $Y / \sim$는 항등원에서 정확한 접선공간을 갖는 다양체 구조를 지닌다.
• 통합 가능한 딜라 구조 $D$에 대해, $D$ 안에 있는 경로들로 구성된 부분대상 $Y_D \subset Y$는 $D$가 통합 가능할 때이고 그때에만 코이시트로픽이며, $Y_D / \sim$는 $D$를 통합하는 웨인슈타인 리 군oids이다.
• Y_D / \sim 위의 랙코이드 곱은 이편분할의 수반 작용과 정확히 일치하며, 이는 랙코이드 구조가 군oids의 구조를 복원함을 보여준다.