[논문 리뷰] Lie superalgebras of Krichever-Novikov type. Almost-grading and central extensions

Martin Schlichenmaier|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 03.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 16인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 고유도와 다중점이 있는 일반화된 고유도 Virasoro 유형 대수의 일반화로, 고전적 Virasoro 유형 대수의 고전적 등급을 극점 위치를 두 개의 서로소 집합으로 분할함으로써 정의된 약등급(Almost-grading)으로 대체한 Krichever-Novikov 유형의 리 초대수를 소개한다. 이 논문은 스케일링과 동치성에 대해 유일한 비자명한 중심 확장이 존재하고, 명시적인 공식을 제시하며, 이 약등급에 대한 유계 코호몰로지 2형식을 완전히 분류한다.

ABSTRACT

Abstract. Classically important examples of Lie superalgebras have been constructed starting from the Witt and Virasoro algebra. In this article we consider Lie superalgebras of Krichever-Novikov type. These algebras are multi-point and higher genus equivalents. The grading in the classical case is replaced by an almost-grading. The almost-grading is determined by a splitting of the set of points were poles are allowed into two disjoint subsets. With respect to a fixed splitting, or equivalently with respect to an almost-grading, it is shown that there is up to rescaling and equivalence a unique non-trivial central extension. It is given explicitly. Furthermore, a complete classification of bounded cocycles (with respect to the almost-grading) is given. 1.

연구 동기 및 목표

• 고전적 리 초대수, 예를 들어 Virasoro 대수를 고유도 리만 곡면과 다수의 표시점이 있는 경우로 일반화한다.
• 고전적 경우의 표준 등급을 극점 위치의 분할에 기반한 약등급으로 대체한다.
• 이 일반화된 설정에서 약등급에 대해 모든 유계 코호몰로지 2형식을 분류한다.
• 이 틀 안에서 중심 확장의 구조와 유일성에 대해 규명한다.

제안 방법

• 표시점 집합(극점이 허용되는 위치)을 두 개의 서로소 부분집합으로 분할하여 Krichever-Novikov 유형의 리 초대수에 약등급을 정의한다.
• 약등급을 사용하여 대수의 코호몰로지 구조, 특히 2형식을 분석한다.
• 약등급에 대한 유계 코호몰로지 2형식을 그 등급에서 균일하게 유계인 형태로 특성화한다.
• 표현 이론적 및 코호몰로지 기법을 적용하여 이러한 코호몰로지 2형식을 동치성에 대해 완전히 분류한다.
• 약등급과 호환되는 유일한 비자명한 중심 확장의 명시적 형태를 유도한다.
• 약등급에 대한 코호몰로지 군 H^2의 구조를 분석하여 스케일링과 동치성에 대해 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약등급 하에서 Krichever-Novikov 유형 리 초대수의 중심 확장의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 극점 위치의 분할 선택이 유계 코호몰로지 2형식의 존재성과 분류에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 주어진 약등급에 대해 스케일링과 동치성에 대해 유일한 비자명한 중심 확장이 존재하는가?
• RQ4 이 일반화된 설정에서 중심 확장의 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ5 유계 코호몰로지 2형식은 약등급 하에서 어떻게 행동하며, 그 완전한 분류는 무엇인가?

주요 결과

• 고정된 약등급을 갖춘 Krichever-Novikov 유형 리 초대수에 대해 스케일링과 동치성에 대해 유일한 비자명한 중심 확장이 존재한다.
• 중심 확장은 명시적으로 구성되며, 표시점 집합을 두 개의 서로소 부분집합으로 나누는 선택에 따라 달라진다.
• 약등급에 대해 모든 유계 코호몰로지 2형식은 완전히 분류되어 있으며, 그 코호몰로지적 구조에 대한 완전한 기술이 제공된다.
• 유계 코호몰로지 2형식의 분류는 고유도와 표시점의 수에 관계없이, 오직 약등급을 정의하는 분할에만 의존한다.
• 약등급은 고전적 Virasoro 대수에 대한 결과를 고유도 및 다중점 설정으로 확장하는 자연스러운 틀을 제공한다.
• 유일성은 고전적 경우의 유한형 조건을 일반화한, 약등급에 대해 유계성 조건을 만족하는 가정 하에 성립한다.