[논문 리뷰] Lie symmetry analysis of nonlinear evolution equation for description nonlinear waves in a viscoelastic tube

Mehdi Nadjafikhah, Vahid Shirvani-Sh|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 03.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 5인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 점탄성 관류에서 비선형 파동을 모델링하는 오목한 비선형 진화 방정식에 리 대칭 분석을 적용한다. 일차 및 이차 차원 리 부분대수의 최적 체계를 구성함으로써, 저자들은 대칭 축소를 통해 군-불변 해를 유도하고, 원래의 PDE를 ODE로 감소시켜 갈릴레오 불변 및 진행파 형태의 명시적 해를 얻는다. 이는 자코비 타원 함수를 사용하여 유도된다.

ABSTRACT

In this paper, the Lie symmetry method is performed for the nonlinear evolution equation for description nonlinear waves in a viscoelastic tube. we will find one and two-dimensional optimal system of Lie subalgebras. Furthermore, preliminary classification of its group-invariant solutions are investigated.

연구 동기 및 목표

• 점탄성 관류에서 비선형 진동파 전파를 모델링하는 오목한 비선형 진화 방정식의 리 대칭을 분석하기 위해.
• 해에 대한 일차 및 이차 차원 리 부분대수의 최적 체계를 구성하기 위해.
• 대칭 축소를 통한 군-불변 해의 초보적 분류를 수행하기 위해.
• 대칭 생성자로부터 유도된 불변 좌표를 사용하여 원래의 PDE를 상미분방정식(ODE)으로 감소시키기 위해.
• 감소된 ODE를 사용하여 갈릴레오 불변 및 진행파 해를 포함한 명시적 해석적 해를 도출하기 위해.

제안 방법

• 오목한 미분계수를 위한 연장 공식을 사용하여, 방정식의 무한소 생성자를 결정하기 위해 리 점 대칭 방법을 적용한다.
• 대칭 군의 작용 하에서 방정식의 불변 조건을 계산하여 무한소의 결정 체계를 유도한다.
• 첨도 작용을 분석하고 벡터 장의 동치류를 분류함으로써 일차 및 이차 차원 부분대수의 최적 체계를 구성한다.
• 특성의 방법을 통해 대칭 생성자의 불변량을 결정하여 축소를 위한 새로운 좌표를 정의한다.
• 새로운 좌표에서의 연쇄법칙을 사용하여 각 대칭 사례에 대해 원래의 PDE를 감소된 ODE로 변환한다.
• 해결된 ODE를 해석적으로 풀며, 자코비 타원 함수와 유리 함수 해를 포함한 경우를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점탄성 관류에서 비선형 진동파를 모델링하는 오목한 비선형 진화 방정식이 허용하는 리 대칭의 완전한 집합은 무엇인가?
• RQ2 이 방정식에 대한 일차 및 이차 차원 리 부분대수의 최적 체계는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 대칭 기반 좌표 변환을 사용하여 PDE를 축소함으로써 도출된 군-불변 해는 무엇인가?
• RQ4 대칭 축소 과정을 통해 어떤 명시적 해석적 해가 도출되는가, 특히 갈릴레오 불변 및 진행파의 경우에 대해?
• RQ5 방정식의 상수들이 감소된 ODE와 그 해의 구조 및 형태에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 방정식은 시간 이동, 공간 이동, 갈릴레오 보정, 스케일링 유사 변환을 포함한 다섯 차원의 리 대수 대칭을 갖는다.
• 일차 부분대수의 최적 체계가 구성되었으며, 그 대표자는 ∂ₜ, ∂ₓ, t∂ₓ + (1/a)∂ᵤ, 그리고 t∂ₓ와 ∂ₜ를 포함한 조합이 포함된다.
• 갈릴레오 불변 대칭 t∂ₓ + (1/a)∂ᵤ에 대해 해는 u(x,t) = (x + a c₁)/(a t)로 감소하며, 이는 t와 x에 대한 유리 함수 해이다.
• 진행파 대칭 c₀∂ₓ + ∂ₜ에 대해 감소된 ODE는 자코비 타원 함수를 포함한 주기적 해를 갖는다: ζ = a₀ + A sn⁴(mχ,k) + B sn(mχ,k) d/dχ sn(mχ,k).
• 대칭 ∂ₜ는 감소된 ODE aζζₓ + bζₓ³ + cζₓ⁴ + dζₓ⁵ - eζₓ² = 0을 유도하며, 이는 공간에서 정적인 해를 지지한다.
• 대칭 ∂ₓ는 ζₓ = 0 조건으로부터 유도된 시간에 대해 일정한 해 u(x,t) = c를 유도한다.