[논문 리뷰] Lieb-Schultz-Mattis, Luttinger, and 't Hooft -- anomaly matching in lattice systems

Meng Cheng, Nathan Seiberg|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 22.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 배경 게이트 필드에 의한 결합과 경계 조건의 꼬임을 통해 1+1d 격자 시스템에 대한 통일된 이상 기반 프레임워크를 개발하고, ’t Hooft 이상이 격자 대칭성, LSM 유형 결과, 및 Luttinger 제약을 어떻게 제약하는지 드러낸다.

ABSTRACT

We analyze lattice Hamiltonian systems whose global symmetries have 't Hooft anomalies. As is common in the study of anomalies, they are probed by coupling the system to classical background gauge fields. For flat fields (vanishing field strength), the nonzero spatial components of the gauge fields can be thought of as twisted boundary conditions, or equivalently, as topological defects. The symmetries of the twisted Hilbert space and their representations capture the anomalies. We demonstrate this approach with a number of examples. In some of them, the anomalous symmetries are internal symmetries of the lattice system, but they do not act on-site. (We clarify the notion of "on-site action.") In other cases, the anomalous symmetries involve lattice translations. Using this approach we frame many known and new results in a unified fashion. In this work, we limit ourselves to 1+1d systems with a spatial lattice. In particular, we present a lattice system that flows to the $c=1$ compact boson system with any radius (no BKT transition) with the full internal symmetry of the continuum theory, with its anomalies and its T-duality. As another application, we analyze various spin chain models and phrase their Lieb-Shultz-Mattis theorem as an 't Hooft anomaly matching condition. We also show in what sense filling constraints like Luttinger theorem can and cannot be viewed as reflecting an anomaly. As a by-product, our understanding allows us to use information from the continuum theory to derive some exact results in lattice model of interest, such as the lattice momenta of the low-energy states.

연구 동기 및 목표

• ’t Hooft 이상이 격자 시스템의 이산적 공간 구조에서 어떻게 나타나는지 명확히 한다.
• 꼬임/결함이 배경 게이트 필드를 어떻게 인코딩하고 대칭 혼합 및 프로젝티브 표현을 드러내는지 보여준다.
• 유지된 완전한 연속체와 같은 대칭성과 이상을 갖춘 표면으로의 유도에 해당하는 알려진 연속 이론들(예: c=1 compact boson)과 대응하는 격자 모델에서 이상 매칭을 입증한다.
• LSM 유형 정리와 Luttinger 제약을 이상 매칭 패러다임 안에서 재구성한다.

제안 방법

• 격자 시스템을 내부 대칭성에 대한 평탄한 배경 게이트 필드에 결합시키고 경계 조건을 꼬임으로 처리한다.
• 공간 꼬임을 도입하고 이를 위상 결함으로 변환하여 꼬인 힐베르트 공간에서 대칭 작용을 연구한다.
• 대칭 삽입이 있는 분할함수를 계산하여 게이지 변환 하에서의 위상 모호성(이상)을 탐지한다.
• 수학적 도구로서 더 높은 차원의 벌크로 확장하여 이상 흐름( anomaly inflow)으로 이상을 해석한다.
• (예: c=1 compact boson)과 같은 연속 극한을 사용하여 연속체와 같은 완전한 대칭 및 이상을 보존하는 격자 구성으로 안내한다.
• 격자 평행이동을 자발적으로 나타나는/내재된 대칭으로 분석하고, LSM 및 Luttinger 유형 제약을 이상 고려와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 격자 평행이동이 존재하고 미시적 작용이 현장에서 작용하지 않을 때 내부 대칭의 ’t Hooft 이상은 어떻게 나타나는가?
• RQ2 배경 게이트 필드를 포착하는 꼬임 경계 조건과 위상 결함이 이상이 있는 격자 시스템에 어떻게 작동하는가?
• RQ3 LSM 유형 제약 및 Luttinger의 정리는 격자 모델에서 이상 매칭이나 관련 자발적 대칭으로 이해될 수 있는가?
• RQ4 이상과 이중성를 보존하면서 알려진 연속 이론(c=1 compact boson)으로 흐르는 격자 구성이 어떤가?
• RQ5 격자 평행이동에서 발생하는 자발적/출현 대칭이 이상 구조와 스펙트럼 제약에 어떻게 참여하는가?

주요 결과

• 모든 반경에 대해 c=1 compact boson으로 흐르는 격자 시스템을 제시하여 전체 연속체 내부 대칭 및 그 이상(예: T-duality)을 보존한다.
• 이상한 내부 대칭이 격자에서 비현장적으로 작용하지 않는 경우를 평탄한 배경 게이트 필드와 꼬임 경계 조건으로 분석할 수 있음을 보여준다.
• 스핀 체인에서 LSM 정리를 ’t Hooft 이상 매칭 조건으로 재해석하고, 연속체 통찰을 이용하여 정확한 유한 크기 스펙트럼 정보를 추출한다.
• 특정 XXZ-type 체인에서 나타나는 자발적(번역 유도) Z2 대칭을 확인하고, 격자 기원에도 불구하고 저에너지에서의 정확성을 설명한다.
• Luttinger-type 채움 제약이 이상을 반영하는지 여부를 명확히 하고, 반대로 그렇지 않은 경우를 구분하며, 채움, 자발적 대칭, 이상 간의 미묘한 관계를 부각한다.