[논문 리뷰] Lieb-Schultz-Mattis theorems for symmetry protected topological phases

Yuan-Ming Lu|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 12.

Topological Materials and PhenomenaPhysics and Astronomy참고 문헌 1인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 2차원 시스템에서 격자 이동 대칭성을 자기 이동 대칭성으로 대체함으로써 대칭 보호 양자 위상(SPT) 상에 대한 뉴클레어-슐츠-매티스(Lieb-Schultz-Mattis) 정리의 새로운 클래스를 수립한다. 이는 고유한 대칭성과 고립된, 국소적인 얽힘을 가진 고체 상태가 존재할 수 없음을 증명하며, 이는 특히 단위 세포당 홀수 개인 마요라나 영 모드를 가진 페르미온계 또는 시간역전 대칭과 분할 anyon을 가진 보존계에서, 강력한 간격이 없는 표면 모드를 가진 위상으로서의 위상이 존재함을 의미한다. 이는 상호작용하는 양자계에서 SPT 오더를 식별하는 일반적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The Lieb-Schultz-Mattis (LSM) theorem and its descendants represent a class of powerful no-go theorems that rule out any short-range-entangled (SRE) symmetric ground state irrespective of the specific Hamiltonian, based only on certain microscopic inputs such as symmetries and particle filling numbers. In this work, we introduce and prove a new class of LSM-type theorems, where any symmetry-allowed SRE ground state must be a symmetry-protected topological (SPT) phase with robust gapless edge states. The key ingredient is to replace the lattice translation symmetry in usual LSM theorems by magnetic translation symmetry. These theorems provide new insights into numerical models and experimental realizations of SPT phases in interacting bosons and fermions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 격자 이동 대칭성을 초월하여 자기 이동 대칭성을 포함하는 레이브-슐츠-매티스(LSM) 정리 프레임워크를 확장하기 위해.
• 특정 채움과 대칭 조건을 가진 2차원 시스템에서 대칭성과 고립된 얽힘을 가진 SRE 고립 상태가 존재할 수 없음을 엄밀히 증명하기 위해.
• 이러한 시스템이 대칭 보호 양자 위상(SPT) 상이 되어 강력한 간격이 없는 표면 상태를 가져야 함을 보여주기 위해.
• 특히 수치적 및 실험적으로 실현 가능한 모델에서 상호작용하는 페르미온과 보존계에서 SPT 오더를 식별하는 이론적 기초를 제공하기 위해.
• 비상호작용 및 강한 상관관계가 있는 시스템에서의 SPT 상을 대칭 보호 양자 위상 제약 조건을 통해 통합적으로 이해하기 위해.

제안 방법

• 플라켓당 스칼라 $\phi = 2\pi p/q$를 가진 자기 이동 대칭성으로 기존의 격자 이동 대칭성을 LSM 정리에서 대체하기 위해.
• 자기 이동 대칭 대수 $\tilde{T}_1 \tilde{T}_2 \tilde{T}_1^{-1} \tilde{T}_2^{-1} = e^{i\phi \hat{F}}$를 사용하며, 여기서 $\hat{F}$는 총 페르미온 수 연산자이다.
• 꼬임 경계 조건과 플럭스 삽입을 적용하여 고체 상태가 대칭 변환에 반응하는 방식을 탐색하기 위해.
• 실린더 위에서 고체 상태의 스미스 분해를 사용하여 얽힘 고유 상태의 대칭 고유수를 분석하기 위해.
• 시간역전 대칭과 전하 대칭에 대한 스미스 상태의 변환 성질을 분석하여 위상적 펌프와 표면 모드 형성을 탐지하기 위해.
• 경계 조건을 $\pi$ 플럭스로 변화시키면 대칭 고유수가 이동하며, 이는 카라메르 이중체나 anyonic 진동자 펌프를 의미하며, 이는 비자명한 SPT 위상과만 호환됨을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기 이동 대칭성과 $\phi = \pi$를 가진 2차원 페르미온계에서 단위 세포당 홀수 개인 마요라나 영 모드를 가진 고유한 대칭성과 고립된 SRE 고체 상태는 존재할 수 있는가?
• RQ2 자기 이동 대칭성은 상호작용하는 페르미온계와 보존계에서 SRE 대칭 고체 상태 존재에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ3 분할 채움, 시간역전 대칭성, 자기 플럭스 간의 상호작용은 어떤 방식으로 위상적 오더의 기원을 이끌어내는가?
• RQ4 $\pi$ 플럭스 삽입이 어떤 조건에서 비자명한 SPT 위상을 시사하는 위상적 반응을 유도하는가?
• RQ5 자기 이동 대칭성을 포함하여 이동 대칭성 외부로 LSM 정리를 일반화할 수 있는가, 이는 간격이 없는 표면 모드를 보호하는 방식으로?

주요 결과

• 자기 이동 대칭성과 $\phi = \pi$를 가진 2차원 페르미온계에서 단위 세포당 홀수 개인 마요라나 영 모드를 가진 고유한 대칭성과 고립된 SRE 고체 상태는 금지된다.
• 시스템은 $\nu = $ 홀수인 위상적 초전도체로 간주되어야 하며, 이는 중심 열전도도 $c_- = \nu/2$를 가진 캐리어 마요라나 표면 모드를 가진다. 이는 위상적 인덱스에 의해 요구된다.
• 시간역전 대칭성과 $\phi = \pi$ 플럭스를 가진 시스템에서 고유한 고립된 대칭 고체 상태는 존재할 수 없으며, 이는 이러한 SRE 상태에 대한 금지 정리임을 증명한다.
• $\pi$ 플럭스 삽입은 실린더를 가로질러 카라메르 이중체를 펌프로 이동시키며, 이는 보존계에서 BQSH(bipartite quantum spin Hall) 위상과만 호환된다.
• 홀수 길이 실린더에서 $\pi$ 플럭스 삽입에 따라 스미스 고유 상태의 대칭 성질이 부호가 반전되며, 이는 위상적 펌프를 시사하고 비자명한 SPT 위상의 존재를 확인한다.
• U(1) 대칭성이 이산 $Z_2$ 부분군으로 감소하더라도 시간역전 대칭성이 유지되는 한 결과는 그대로 유지되며, 이는 대칭성 파괴 하에서도 SPT 분류의 강건성을 증명한다.