[논문 리뷰] Life-span of solutions to semilinear wave equation with time-dependent critical damping for specially localized initial data

Masahiro Ikeda, Motohiro Sobajima|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 13.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하는 임계 감쇠 $\frac{\mu}{1+t}\partial_t u$를 갖는 반선형 파동방정식에 대한 컴팩트 지지된 초기 자료에 대해 해의 수명의 날카운 상계를 확립한다. 여기서 $\mu \in [0, \frac{N^2+N+2}{N+2})$이다. 공액 선형 방정식의 해가 되는 가우스 제타함수를 포함하는 테스트 함수의 새로운 구성 방법을 사용하여, $p_F(N) \leq p \leq p_0(N+\mu)$일 때 폭발이 발생함을 증명하며, 수명은 $\operatorname{LifeSpan}(u_\varepsilon) \leq \exp[K_5 \varepsilon^{-p(p-1)}]$로 유계화된다. 이는 폭발과 전역 존재성 사이의 임계 지수 $p_0(N+\mu)$를 명확히 한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the blowup phenomena for initial value problem of semilinear wave equation with critical time-dependent damping term (DW). The result is the sharp upper bound of lifespan of solution with respect to the small parameter $\ep$ when $p_F(N)\leq p\leq p_0(N+μ)$, where $p_F(N)$ denotes the Fujita exponent for the nonlinear heat equations and $p_0(n)$ denotes the Strauss exponent for nonlinear wave equation in $n$-dimension with $μ=0$. Consequently, by connecting the result of D'Abbicco--Lucente--Reissig 2015, our result clarifies the threshold exponent $p_0(N+μ)$ for dividing blowup phenomena and global existence of small solutions when $N=3$. The crucial idea is to construct suitable test functions satisfying the conjugate linear equation $\pa_t^2Φ-ΔΦ-\pa_t(\fracμ{1+t}Φ)=0$ of (DW) including the Gauss hypergeometric functions; note that the construction of test functions is different from Zhou--Han in 2014.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 임계 감쇠 $\frac{\mu}{1+t}\partial_t u$를 갖는 반선형 파동방정식에 대한 소규모 초기 자료 해의 수명에 대한 날카운 상계를 확립하기 위해.
• 소규모 해의 폭발과 전역 존재성 사이를 갈라놓는 임계 지수 $p_0(N+\mu)$를 명확히 하기 위해.
• 기존의 $\mu=0$인 경우의 폭발 결과를 $\mu>0$의 경우로 확장하여, 특히 $N=3$인 경우에 대해 $p_0(N+\mu)$가 임계 지수임을 밝히기 위해.
• 시간에 의존하는 감쇠가 존재하는 상황에서 파동방정식의 공액 선형 방정식을 만족하는 적절한 테스트 함수를 구성하기 위해, 가우스 제타함수를 활용하여 수명 추정을 도출할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 가우스 제타함수를 이용하여 공액 선형 방정식 $\partial_t^2 \Phi - \Delta \Phi - \partial_t\left(\frac{\mu}{1+t}\Phi\right) = 0$ 를 만족하는 테스트 함수 $\Phi$ 를 구성하기 위해.
• 해의 $L^p$ 노름의 성장을 통제하기 위해 철저히 선택된 가중치 $\beta_0, \beta_\delta$ 를 사용한 척도 및 가중 에너지 추정 방법을 사용하기 위해.
• 시간에 따른 에너지와 $L^p$-노름 기여를 추적하기 위해 보조 함수 $G_{\beta_0}(t)$, $H_{\beta_0}(t)$, $J_{\beta_0}(t)$ 를 정의하기 위해.
• 에너지 함수에 대한 미분 부등식을 유도하기 위해 로그 가중치를 포함한 그론월라 유형 부등식과 적분 추정을 적용하기 위해.
• 시간 변수를 $\sigma = \log(1+t)$ 로 변환하여 로그 척도에서의 폭발 행동을 분석하고, 레마 3.1을 적용하여 유한 시간 내 폭발을 도출하기 위해.
• 보조 함수 $J_{\beta_0}(t)$ 가 $\exp[K_5 \varepsilon^{-p(p-1)}]$ 보다 일찍 폭발함을 보여줌으로써, 수명 추정 $\operatorname{LifeSpan}(u_\varepsilon) \leq \exp[K_5 \varepsilon^{-p(p-1)}]$ 를 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 의존하는 감쇠 $\frac{\mu}{1+t}\partial_t u$를 갖는 반선형 파동방정식에 대한 소규모 초기 자료 해의 수명에 대한 날카운 상계는 무엇인가?
• RQ2 감쇠가 시간에 의존하고 임계적일 때($\mu \in [0, \frac{N^2+N+2}{N+2})$), 폭발과 전역 존재성 사이의 임계 지수는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 가우스 제타함수를 기반으로 한 테스트 함수 방법은 시간에 의존하는 감쇠 경우에 적응되어 수명 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ4 비임계 및 임계 범위 $p_F(N) \leq p \leq p_0(N+\mu)$ 에서 수명이 소수 파arameter $\varepsilon$ 에 대해 정확히 어떻게 의존하는가?
• RQ5 기존의 $\mu=0$인 경우(스트라우스 지수)와 $\mu>0$인 경우(후지타 및 수정된 스트라우스 지수)의 결과와 비교하여 수명 추정은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 소규모 초기 자료 해에 대해 $\operatorname{LifeSpan}(u_\varepsilon) \leq \exp[K_5 \varepsilon^{-p(p-1)}]$ 이 성립하며, 이는 $p_F(N) \leq p \leq p_0(N+\mu)$ 범위에서 날카운 상계를 제공한다.
• 임계 지수 $p_0(N+\mu)$ 는 $\mu > 0$ 인 경우 소규모 해의 폭발과 전역 존재성 사이의 경계로 식별되며, 고전적 스트라우스 지수를 시간에 의존하는 감쇠 경우로 확장한다.
• $N=3$ 인 경우, 결과는 $p_0(N+\mu)$ 가 정확한 임계 지수임을 확인하여, $p_0(N+\mu)$ 와 $p_F(N)$ 중 어느 것이 폭발 행동를 지배하는지에 대한 열린 문제를 해결한다.
• 가우스 제타함수를 이용한 테스트 함수의 구성은 시간에 의존하는 감쇠 존재 하에서 공액 방정식을 다루는 데 새로운 방법을 제공하며, 이는 이전의 접근과 다름을 보인다.
• 수명 추정은 임계 경우 $p = p_0(N+\mu)$ 와 일치하며, 이는 $\varepsilon^{-1}$ 에 대해 이중 지수적 시간 내에 폭발이 발생함을 보여주며, $\mu=0$ 인 경우의 알려진 행동과 일치한다.
• 분석은 임계 감쇠 $\mu \in [0, \frac{N^2+N+2}{N+2})$ 가 비임계 및 임계 범위에서 폭발을 방지하지 않으며, 다만 임계 지수를 $p_0(N+\mu)$ 로 변화시킨다.