[논문 리뷰] Lift & Project Systems Performing on the Partial Vertex Cover Polytope

Konstantinos Georgiou, Edward Lee|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 34인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 t-Partial Vertex Cover (t-PVC) 다면체 위에서 lift-and-project (L&P) 체계—Sherali-Adams (SA), Lovász-Schrijver-SDP (LS+), Sherali-Adams-SDP (SA+), Lasserre-SDP (La)—에 대한 거의 날카로운 정수화 갭 하한을 확립한다. 임의의 ε > 0에 대해, 이러한 체계에서의 수준-Θ(n) 타협은 최소 (1−ε)n/t의 정수화 갭을 가지며, Lasserre 체계는 수준-1에서 초수렴 갭을 보이고 수준-Θ(n)에서 일반적인 초수렴 갭을 보인다. 이는 t = O(n)일 때 이러한 강력한 선형계획법(LP) 및 준정방행렬계획(SDP) 계층이 상수 요인 근사치를 증명하지 못한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We study integrality gap (IG) lower bounds on strong LP and SDP relaxations derived by the Sherali-Adams (SA), Lovász-Schrijver-SDP (LS_+), and Sherali-Adams-SDP (SA_+) lift-and-project (L&P) systems for the t-Partial-Vertex-Cover (t-PVC) problem, a variation of the classic Vertex-Cover problem in which only t edges need to be covered. t-PVC admits a 2-approximation using various algorithmic techniques, all relying on a natural LP relaxation. Starting from this LP relaxation, our main results assert that for every epsilon>0, level-Theta(n) LPs or SDPs derived by all known L&P systems that have been used for positive algorithmic results (but the Lasserre hierarchy) have IGs at least (1-epsilon)n/t, where n is the number of vertices of the input graph. Our lower bounds are nearly tight, in that level-n relaxations, even of the weakest systems, have integrality gap 1. As lift-and-project systems have given the best algorithms known for numerous combinatorial optimization problems, our results show that restricted yet powerful models of computation derived by many L&P systems fail to witness c-approximate solutions to t-PVC for any constant c, and for t=O(n). This is one of the very few known examples of an intractable combinatorial optimization problem for which LP-based algorithms induce a constant approximation ratio, still lift-and-project LP and SDP tightenings of the same LP have unbounded IGs. As further motivation for our results, we show that the SDP that has given the best algorithm known for t-PVC has integrality gap n/t on instances that can be solved by the level-1 LP relaxation derived by the LS system. This constitutes another rare phenomenon where (even in specific instances) a static LP outperforms an SDP that has been used for the best approximation guarantee for the problem at hand. Finally, we believe our results are of independent interest as they are among the very few known integrality gap lower bounds for LP and SDP 0-1 relaxations in which not all variables possess the same semantics in the underlying combinatorial optimization problem. Most importantly, one of our main contributions is that we make explicit of a new and simple methodology of constructing solutions to LP relaxations that almost trivially satisfy constraints derived by all SDP L&P systems known to be useful for algorithmic positive results (except the La system). The latter sheds some light as to why La tightenings seem strictly stronger than LS_+ or SA_+ tightenings.

연구 동기 및 목표

• lift-and-project (L&P) 체계에서 유도된 강력한 선형계획법(LP) 및 준정방행렬계획(SDP) 타협의 성능을 t-Partial Vertex Cover (t-PVC) 문제에서 분석하기.
• t-PVC 다면체 위에서 알려진 L&P 체계—SA, LS+, SA+, La—에 대한 정수화 갭(IG) 하한을 확립하기.
• t = O(n)일 때 이러한 체계가 t-PVC에 대해 상수 요인 근사치를 증명할 수 있는지 조사하기, 특히 표준 선형계획법 타협을 통한 2-근사치가 존재하므로 이에 주목한다.
• Lasserre 계층이 다른 L&P 체계와 비교해 얼마나 강력한지 분석함으로써 그 정수화 갭 행동을 탐구하기.
• 전역적인 0-1 할당 분포가 SA 및 LS+ 타협을 속임수로 쓸 수 있지만 Lasserre 계층은 반드시 그렇지는 않다는 점을 밝혀내어 계층 강도의 차이를 밝혀내기.

제안 방법

• 모든 알려진 SDP L&P 체계(예외: Lasserre 제외)에서 유도된 제약 조건를 거의 자명하게 만족하는 분수 해를 구성함. 대칭적인 기본 행 및 열 연산을 사용해 행렬 크기를 줄임.
• Schur 보조정리와 행렬 분해를 사용해 Lasserre 타협 행렬을 양의 준정방행렬 성분의 합과 음의 정부정행렬 항의 합으로 표현함.
• Sylvester의 기준과 행렬식 분석을 적용해 수준 k에서 Lasserre 타협 행렬의 양의 정부정성을 증명함. 이는 이항계수로 유도된 변환된 행렬의 행렬식에 기반함.
• Cauchy-Binet 공식과 행렬식의 점근적 분석을 사용해 det(AAT)와 det(BBT)를 비교함. 이로써 p ∈ o(1/n)인 적절한 경우 det(AAT)가 지배함을 보임.
• 이항계수를 포함한 조합 항등식을 활용해 det(W^T) = 1임을 증명함으로써 변환 행렬의 정확한 행렬식 계산이 가능해짐.
• 매개변수 선택 p ∈ o(1/n) 및 p ∈ o(n^{-(k+1)/(k+2)}) 하에서 행렬식의 점근적 행동을 분석함으로써, Lasserre가 수준-1 및 수준-Θ(n)에서 초수렴 정수화 갭을 보임을 입증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 t = O(n)일 때, SA, LS+, SA+, La 체계에서 유도된 강력한 LP 및 SDP 타협이 t-PVC에 대해 유한한 정수화 갭을 가지는가?
• RQ2 Lasserre 계층은 t-PVC 문제에서 다른 L&P 체계에서 관찰된 정수화 갭 제약을 극복할 수 있는가?
• RQ3 어떤 전역 0-1 분포가 SA 및 LS+ 타협을 안정적으로 만족하지만 반드시 Lasserre 타협을 만족하지는 않는가?
• RQ4 t-PVC 맥락에서 Lasserre 계층과 다른 L&P 체계 사이에 본질적인 강도 차이가 존재하는가?
• RQ5 t-PVC에 대해 정수화 갭이 2 이하가 되는 최소 수준 r = r(n,t)는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 ε > 0에 대해, SA, LS+, SA+, La 체계에서 유도된 수준-Θ(n) 선형계획법(LP) 및 준정방행렬계획(SDP) 타협은 t-PVC 다면체 위에서 최소 (1−ε)n/t의 정수화 갭을 가진다.
• t-PVC에 대한 표준 0-1 선형계획법 타협의 정수화 갭은 최소 n/t이며, 이 하한은 [15]의 준정방행렬계획 타협과 정확히 일치한다.
• Lasserre 체계는 수준-1에서 O(√n)의 정수화 갭을 보이고 수준-Θ(n)에서 초수렴 정수화 갭을 보이며, 이는 심지어 고수준에서도 t-PVC에 대해 상수 요인 근사치를 달성하지 못한다는 것을 시사한다.
• 분석 결과, 전역적인 0-1 할당 분포가 동시에 모든 SA 및 LS+ 타협을 만족할 수 있음을 보여, 이러한 체계의 본질적 내성 강도를 시사한다.
• 동일한 조건에서 동일한 해가 Lasserre 타협을 만족하지 못함을 보여, Lasserre 계층이 LS+ 및 SA+ 체계보다 엄격히 강력함을 입증한다.
• 결과적으로, t = O(n)일 때 L&P 체계에 기반한 제한적이지만 강력한 계산 모델이 임의의 상수 c에 대해 t-PVC의 c-근사해를 증명하지 못한다는 것을 암시한다.