[논문 리뷰] Lifting from pairs of two elliptic modular forms to Siegel modular forms of half-integral weight of even degree

Shuichi Hayashida|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 20.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 1차수의 반정수 스플릿 모듈라 형식에서의 쌍의 고유형식을 반정수 스플릿의 짝수 차수 시겔 모듈라 형식으로 끌어올리는 구조를 제시하며, 미야와키-이케다 끌어올림의 일반화이다. 핵심 기여는 일반화된 코hen-에이젠스타인 급수에 대한 일반화된 마스 관계를 도입한 것으로, 이 관계는 구성된 형식이 고유형식이 되고 L-함수를 계산 가능하게 하며, 식이 식별적으로 0이 아닐 경우에 한하여 이를 보장한다. 이는 여러 (n,k) 쌍에 대해 수치적으로 확인되었다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to show lifts from pairs of two elliptic modular forms to Siegel modular forms of half-integral weight of even degree under the assumption that the constructed Siegel modular form is not identically zero. The key of the proof is to introduce a certain generalization of the Maass relation for Siegel modular forms of half-integral weight of general degree.

연구 동기 및 목표

• 1차수의 반정수 스플릿 모듈라 형식에서의 쌍의 고유형식에서 시겔 모듈라 형식으로의 끌어올림에 대한 이부키야마-하야시다 추측을 2차수를 초월하여 일반화하는 것.
• 짝수 차수의 시겔 모듈라 형식에 대한 반정수 스플릿의 미야와키-이케다 끌어올림의 유사체를 수립하는 것.
• 구성된 시겔 모듈라 형식이 식별적으로 0이 아닐 경우에 고유형식임을 증명하는 것.
• 끌어올린 형식의 L-함수를 계산하고 입력된 모듈라 형식의 L-함수와 연관짓는 것.
• 특정 (n,k) 쌍에 대해 끌어올림의 비영성질을 명시적인 푸리에 계수 계산을 통해 검증하는 것.

제안 방법

• 끌어올림은 세 가지 사상의 복합으로 구성된다: 이케다 끌어올림, 푸리에-자코비 전개 사상, 그리고 인덱스 1의 자코비 형식과 반정수 스플릿의 시겔 모듈라 형식 사이의 동형사상.
• 푸리에-자코비 계수를 제어하기 위해 반정수 스플릿의 일반화된 코헨-에이젠스타인 급수에 대한 일반화된 마스 관계를 중심 기술 도구로 도입한다.
• 증명은 끌어올린 형식이 비영일 경우 히케 연산자에 대해 고유형식임을 보이기 위해 일반화된 마스 관계에 기반한다.
• 끌어올린 형식의 L-함수는 입력 형식의 p-진 매개수를 이용하여 수정된 주루아블 L-함수 구성법을 통해 계산된다.
• 비영성의 수치적 검증은 컴퓨터 대수 시스템을 사용하고, 시겔 급수의 카츠루다 공식을 활용하여 중간 단계의 시겔 모듈라 형식의 푸리에 계수를 계산함으로써 수행된다.
• 특정 케이스, 예를 들어 (n,k) = (2,10)에서 명시적인 계수 항등식(내적과 기저 전개를 포함)을 통해 비영성 여부를 검증함으로써 구성의 타당성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반정수 스플릿의 1차수 모듈라 형식에서의 고유형식 쌍에서 반정수 스플릿의 짝수 차수 시겔 모듈라 형식으로의 끌어올림을 구성하고, 이 형식이 고유형식임을 증명할 수 있는가?
• RQ2 푸리에-자코비 계수 사이의 어떤 일반화된 관계가 끌어올린 시겔 모듈라 형식의 고유형식 성질을 보장하는가?
• RQ3 끌어올린 형식의 L-함수는 입력된 모듈라 형식의 L-함수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 구성된 시겔 모듈라 형식이 식별적으로 0이 되지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ5 특정 (n,k) 쌍에 대해 끌어올림의 비영성질을 계산적으로 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 짝수 k와 음이 아닌 n에 대해, S_{k−n+1/2}^+(Γ₀^{(1)}(4))에 속하는 고유형식 h와 S_{k−1/2}^+(Γ₀^{(1)}(4))에 속하는 고유형식 g의 쌍으로부터 생성된 형식 F_{h,g} ∈ S_{k−1/2}^+(Γ₀^{(2n−2)}(4))는 0이 아닌 고유형식이다.
• 끌어올린 형식의 L-함수는 L(s, F_{h,g}) = L(s,g) × ∏_{i=1}^{2n−3} L(s−i,h)로 표현되며, 입력된 형식의 L-함수와 명시적으로 연관되어 있다.
• F_{h,g}의 p-진 매개수는 {β_p^±, p^{n−2}α_p^±, ..., p^{−n+2}α_p^±}로 주어지며, 이는 함수방정식의 구조를 확인한다.
• (n,k) = (2,10)인 경우, M = [[3,1],[1,3]] 및 m=3일 때 K(M,m) = -968인 비영성 푸리에 계수로 인해 형식 F_{h,g}는 비영이다.
• 비영성은 (2,12)에서 (2,18), (3,12)에서 (3,20), (4,10)에서 (4,20), (5,14)에서 (5,20), (6,12)에서 (6,20)까지의 20개의 추가적인 (n,k) 쌍에 대해 수치적으로 확인되었다.
• 일반화된 코헨-에이젠스타인 급수에 대한 일반화된 마스 관계(정리 7.6)는 증명되었으며, 이는 고유형식 성질과 L-함수 계산을 가능하게 하는 기본 기술적 결과로 기능한다.