[논문 리뷰] Lifting Group Actions and Nonnegative Curvature

Karsten Grove, Wolfgang Ziller|ArXiv.org|2008. 01. 05.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비음성 곡률을 가진 단순 연결 4차원 다양체인 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$, $\mathbb{S}^{2}\times\mathbb{S}^{2}$, 및 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}\#{-}\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$ 위의 벡터 번들의 어떤 것이 완전한 비음성 섹션 곡률을 가진 메트릭을 갖는지를 조사한다. 공통성 일치 군 작용을 통한 주 번들의 군 작용으로의 올림 조건을 분석하고, 관측 가능한 메트릭을 구성함으로써, 비자명한 두 번째 스티펠-브라이트 클래스 $w_2$ 를 가진 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$ 위의 모든 벡터 번들은 그러한 메트릭을 갖는다. 또한 $w_2=0$ 이고 $p_1 \equiv 0 \pmod{8}$ 를 만족하는 3차원 번들의 반은 그러한 메트릭을 갖으며, 모든 이러한 번들은 섬유 차원이 5 이상일 경우 비음성 곡률을 갖는다.

ABSTRACT

We show that all vector bundles over CP^2 which are not spin admit a complete metric with nonnegative sectional curvature. In the proof we construct a nonnegatively curved metric on the corresponding principle bundle by showing that it admits a cohomogeneity one action with singular orbits of codimension 2. This is closely related to the problem of when an action of G on the base of an L principle bundle lifts to the total space, such that the lift commutes with L. We solve this lifting problem for all SO(k) principle bundles over a 4-dimensional simply connected base B with G a cohomogeneity one action on B.

연구 동기 및 목표

• 비음성 섹션 곡률을 가진 완전한 메트릭을 갖는 단순 연결 4차원 다양체 위의 어떤 벡터 번들이 존재하는지 규명하는 것.
• 유한 기본군을 가진 컴act 비음성 곡률 다양체 위의 벡터 번들에 대해 영혼 정리의 역이 성립하는지 여부라는 열린 문제를 다루는 것.
• 비음성 곡률 메트릭을 구성하는 공통성 일치 방법을 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$, $\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2$, 및 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2\#{-}\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 위의 주 번들로 확장하는 것.
• 이 다양체 위의 주 $\operatorname{SO}(k)$-번들 중에서 공통성 일치 군 작용이 올라가는지 분류함으로써 곡률를 유지하는 구성법을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 특이 궤도의 여부가 2인 공통성 일치 군 작용을 통한 주 번들 위에서 비음성 곡률의 불변 메트릭을 구성하는 것.
• 리만 하중사의 곡률 증가 성질을 이용하여 주 번들에서 관련된 벡터 번들로 비음성 곡률를 전달하는 것.
• 메이어-비에토리스 수열과 특성류를 이용하여 기저 다양체에서 주 번들로 $\operatorname{SO}(3)$-작용을 올리는 조건을 분석하는 것.
• 메이어-비에토리스 수열 내에서 호모로지 및 코호몰로지 계산을 통해 첫 번째 본트리아진 클래스 $p_1$ 과 두 번째 스티펠-브라이트 클래스 $w_2$ 를 계산하는 것.
• 특성류를 통한 위상적 제약 조건을 적용하여 어떤 번들이 올림을 가지며, 따라서 비음성 곡률 메트릭을 갖는지를 결정하는 것.
• 기존의 군 작용의 가환성 올림 결과를 활용하고, $\operatorname{SU}(2)$ 및 $\operatorname{SO}(k)$ 의 표현 이론을 통해 번들을 분류하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 위의 벡터 번들이 완전한 비음성 곡률 메트릭을 갖는가?
• RQ2 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 위의 공통성 일치 $\operatorname{SO}(3)$-작용이 주 $\operatorname{SO}(k)$-번들로 올라가는 조건은 무엇인가?
• RQ3 특성류, 특히 $w_2$ 와 $p_1$ 는 관련 번들의 비음성 곡률 메트릭 존재성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 섬유 차원이 비음성 곡률 메트릭 존재성에 어떻게 영향을 미치는가, 특히 $k \geq 5$ 일 경우에 대해 어떻게 되는가?
• RQ5 비자명한 $w_2 = 0$ 인 단순 연결 4차원 다양체 위의 벡터 번들에 대해 비음성 곡률 메트릭 존재에 위상적 제약 조건이 있는가?

주요 결과

• 비자명한 두 번째 스티펠-브라이트 클래스 $w_2$ 를 가진 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^{2}$ 위의 모든 벡터 번들은 비음성 섹션 곡률을 가진 완전한 메트릭을 갖는다.
• 3차원 벡터 번들 중 $w_2 = 0$ 이고 $p_1 \equiv 0 \pmod{8}$ 를 만족하는 것은 그러한 메트릭을 갖는다. 섬유 차원이 5 이상일 경우 모든 이러한 번들은 비음성 곡률을 갖는다.
• 복소수 랭크 2의 벡터 번들에 대해 $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 위에서 첫 번째 체른 클래스 $c_1$ 가 홀수거나, $c_1$ 이 짝수이고 판별식 $\Delta = c_1^2 - 4c_2$ 가 $\Delta \equiv 0 \pmod{8}$ 를 만족하면 비음성 곡률 메트릭이 존재한다.
• $\mathbb{C\mkern 1.0muP}^2$ 위의 $\operatorname{SU}(2)$ 작용이 고정점을 가지며, $p_1 = q^2$ 또는 $p_1 = \pm(q^2 - 4)$ 를 만족하는 정수 $q$ 가 존재할 때에만 주 $\operatorname{SO}(3)$-번들로 올라간다. 이는 추론 5.6에서 보여진다.
• $k=3$ 또는 $k \geq 5$ 일 때, $\mathbb{S}^4$ 위의 주 $\operatorname{SO}(k)$-번들의 첫 번째 본트리아진 클래스는 $p_1 = \pm(\sum m_i^- - \sum m_i^+)$ 이며, 반사지도를 통해 부호를 뒤바꿀 수 있다.
• $\mathbb{S}^4$ 위의 $k=4$ 번들에 대한 올림 분류는 $\operatorname{SO}(4)$ 의 외부 자명화군에 따라 달라지며, 자명한 번들과 접선 번들은 서로 다른 표현에서 유래한다.