[논문 리뷰] Lifting irreducible Galois representations

Najmuddin Fakhruddin, Chandrashekhar Khare외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전체 실수 체 위의 일반 리 군으로의 기약이고 홀수인 mod $p$ 갈루아 표현에 대해 기하적 $p$-진 상승의 존재성을 증명한다. 이는 부르트 표현에 대한 다중도 자유 조건과 적절한 국소 분기 조건을 만족할 때 성립한다. $p$가 충분히 클 경우 이러한 상승이 존재함을 보이며, 이러한 가정 없이도 기하적이지 않은 상승도 제공함으로써 세르의 모듈러성 추측을 $\mathrm{GL}_2$를 초월해 고차원 리 군으로 확장한다.

ABSTRACT

We study irreducible mod p representations, valued in general reductive groups, of the Galois group of a number field. When the number field is totally real, we show that odd representations satisfying local ramification hypotheses and a certain multiplicity-free condition on the adjoint representation admit geometric lifts. For general number fields, we show without any oddness or multiplicity condition that the representation admits a p-adic lift if it does everywhere locally.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 질문에 대해 기약 mod $p$ 갈루아 표현이 일반 리 군으로 상승될 수 있는지 여부를 다룬다.
• 세르의 모듈러성 추측을 $\mathrm{GL}_2$를 초월해 전체 실수 체 위의 고차원 일반 리 군으로 일반화한다.
• 부르트 표현에 대한 다중도 자유 조건과 국소 분기 제약 조건 하에서 상승 정리를 확립한다.
• 기하적 및 기하적이지 않은 상승 결과를 제공함으로써 $\mathrm{GL}_2$의 경우에 알려진 결과를 일반 리 군으로 확장한다.
• 홀수성의 역할을 일반 리 군의 맥락에서 탐색하며, 세르의 원래 정의를 일반화한다.

제안 방법

• 복소 수반의 고정점 차원을 이용해 세르의 홀수성 조건을 일반 리 군으로 일반화한다.
• 변형 이론과 국소 조건을 사용하여 분기된 소수에서 최소 변형을 구성함으로써 Fontaine–Mazur의 기하성 조건과 일치하도록 보장한다.
• 잠재적 자동성 정리와 모듈러성 상승 기법을 일반 리 군에 맞게 조정하여 적용한다.
• 특성 이론과 ATLAS 자료를 활용하여 예외적 군의 리 대수 위에서 $A_6$, $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$와 같은 유한군이 홀수 반전으로 작용함을 검증한다.
• 다중도 자유 조건을 만족하지 않는 $F_4(\overline{\mathbb{F}}_p)$로의 잔여 표현의 구체적 예를 구성함으로써 다중도 자유 조건이 필수적임을 보여준다.
• 플래그 다양체 이론과 웨일 군 작용을 이용하여 부르트 작용의 불변량을 통해 홀수 표현을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 실수 체 위의 일반 리 군으로의 기약 mod $p$ 갈루아 표현이 기하적 $p$-진 상승을 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 세르의 홀수성 개념은 $\mathrm{GL}_2$를 초월해 일반 리 군으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 부르트 표현에 대한 다중도 자유 조건이 기하적 상승을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 홀수성 또는 다중도 자유 조건 없이도 기하적이지 않은 상승을 구성할 수 있는가?
• RQ5 부르트 표현에 비자명한 다중도가 존재할 경우 기존의 모듈러성 상승 정리가 어느 정도 실패하는가?

주요 결과

• $p$가 군과 체에 따라 충분히 클 경우, 부르트 표현의 다중도 자유 조건을 만족하는 모든 홀수 잔여 표현은 기하적 $p$-진 상승을 갖는다.
• 논문은 $F_4(\overline{\mathbb{F}}_p)$로의 잔여 표현에 대해 $A_6$와 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$를 이미지로 갖는 구체적 예를 구성하였으며, 이는 주요 상승 정리의 모든 가정을 만족하지만 다중도 자유 조건만 제외한다.
• 이 예는 [BLGGT14]의 잠재적 자동성 정리 적용에 있어 다중도 자유 조건이 필수적임을 보여주며, 그들의 형식적 특성은 1을 초월하는 다중도를 갖는다.
• $F_4$의 부르트 표현은 $A_6$와 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{13})$에 의해 리 대수 위에서 분해되며, 리 대수 위에서의 추적 계산을 통해 홀수성 조건이 확인된다.
• 복소 수반의 작용이 $F_4$의 리 대수 위에서 고정점의 차원이 플래그 다양체의 차원과 일치함을 확인함으로써 이들 군에 대해 홀수성 조건이 성립함을 입증한다.
• 보조정리 4.10은 기하적 상승이 실패할 경우에도 큰 이미지를 갖는 기하적이지 않은 상승이 존재함을 보장함으로써 상승 프레임워크의 강건성을 보여준다.