[논문 리뷰] Lifting systems of Galois representations associated to abelian varieties

Rutger Noot|arXiv (Cornell University)|2004. 07. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아벨 다양체에 부착된 갈루아 표현의 '약한 기하적 리프팅'을 도입하며, 기하학적 성질을 유지하는 방식으로 도우미 군의 이소지니를 통한 표현 리프팅에 초점을 맞춘다. 포인트-마자르의 관측에 따르면, 임의의 수체수 위의 아벨 다양체에 대해 유한 확장 이후, 단순 연결된 도우미 군을 갖는 군으로의 약한 기하적 리프팅이 존재함을 증명한다. 이는 특정 경우에서 포인트-마자르 추측을 확인하고, 리프팅이 아벨 다양체에서 유래되지 않을 수 있는 부분적인 결과를 확립한다.

ABSTRACT

This paper treats what we call `weak geometric liftings' of Galois representations associated to abelian varieties. This notion can be seen as a generalization of the idea of lifting a Galois representation along an isogeny of algebraic groups. The weaker notion only takes into account an isogeny of the derived groups and disregards the centres of the groups in question. The weakly lifted representations are required to be geometric in the sense of a conjecture of Fontaine and Mazur. The conjecture in question states that any irreducible geometric representation is a twist of a subquotient of an étale cohomology group of an algebraic variety over a number field. It is shown that a Galois representation associated to an abelian variety admits a weak geometric lift to a group with simply connected derived group. In certain cases, such a weak geometric lift is itself associated to an abelian variety. This means that the conjecture of Fontaine and Mazur is confirmed for these representations. In other cases, one may find a lift which can not be found back in the etale cohomology of any abelian variety. The Fontaine--Mazur conjecture remains open for these representations. Nevertheless, certain consequences of the conjecture can be established.

연구 동기 및 목표

• 아벨 다양체에 부착된 갈루아 표현에 대해 포인트-마자르 추측을 조사하기 위해 더 약한 리프팅 조건을 도입하는 것.
• 전체 대수적 군이 아닌 도우미 군의 이소지니에 중점을 두는 '약한 기하적 리프팅'을 정의하고 연구하는 것.
• 이러한 리프팅이 특히 아벨 다양체의 에탈 코호몰로지에서 유래되는지 여부를 판단하는 것.
• 리프팅이 아벨 다양체를 통한 실현이 불가능한 경우, 포인트-마자르 추측에 대한 부분적인 결과를 확립하는 것.
• 군의 이소지니 맥락에서 기하학적 콭유게이션 클래스와 코호몰로지 장애를 통한 갈루아 표현의 구조 분석.

제안 방법

• 기하학적 성질을 유지하면서 중심을 무시하고 도우미 군의 이소지니를 통해 인자되는 표현으로서 약한 기하적 리프팅을 정의한다.
• 아벨 다양체 $A$의 문마프-테이트 군 $G_A$를 사용하여 기본 갈루아 표현 $\rho_{A,p}$를 구성한다.
• 도우미 군 $G_A^{\mathrm{der}}$의 보편 커버인 $\widetilde{G}^{\mathrm{der}}$를 갖는 군 $\widetilde{G}$로의 리프팅 $\tilde{\rho}_p$를 구성한다.
• 체보타레프 밀도 정리와 코호몰로지 기법을 적용하여 프로베니우스 원소의 이미지가 콭유게이션 클래스에 속하는지 분석한다.
• 갈루아 코호몰로지와 국소-글로벌 원리를 사용하여 기하학적 콭유게이션 클래스 사상의 섬유 내에 유리점이 존재하는지 확인한다.
• 토르서와 유리점에 관한 결과를 활용하여 $\mathrm{Cl}(G^\prime)$ 위의 특정 섬유가 $\mathbf{Q}$-유리점을 포함함을 보여, 리프팅의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 아벨 다양체에 부착된 갈루아 표현은 단순 연결된 도우미 군을 갖는 군으로 약한 기하적 리프팅될 수 있는가?
• RQ2 이러한 약한 기하적 리프팅이 아벨 다양체의 에탈 코호몰로지의 부분몫 표현으로 실현될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 리프팅이 아벨 다양체에서 유래되지 않을 경우, 포인트-마자르 추측은 어느 정도까지 검증될 수 있는가?
• RQ4 코호몰로지 장애와 국소 조건은 리프팅된 군의 유리 콩유게이션 클래스 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 기하학적 콩유게이션 클래스와 그 섬유는 국소 자료로부터 글로벌 리프팅을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 수체수 $F$ 위의 아벨 다양체 $A$에 대해, 유한 확장 $F'$와 $\widetilde{G}^{\mathrm{der}}$가 단순 연결인 군 $\widetilde{G}$로의 약한 기하적 리프팅 $\tilde{\rho}_p$가 존재한다.
• 모든 약한 기하적 리프팅은 도우미 군이 단순 연결인 것으로서의 리프팅에 의해 지배되며, 이는 정규화의 정의에 따라 자연스럽게 유도된다.
• 일부 경우에서 약한 기하적 리프팅은 아벨 다양체의 에탈 코호몰로지에서 기인하며, 이는 해당 표현에 대해 포인트-마자르 추측을 확인한다.
• 다른 경우에서는 리프팅이 어떤 아벨 다양체의 에탈 코호몰로지의 부분몫 표현으로도 실현될 수 없으며, 이 경우 전체 추측은 여전히 열려있다.
• $\mathbf{Q}$-유리점이 콩유게이션 클래스 사상의 섬유에 존재함이 코호몰로지 토르서 기법과 국소-글로벌 원리를 통해 증명된다.
• 체보타레프 밀도 정리에 의해, 프로베니우스의 이미지가 특정한 악성 집합 외부에 있을 확률이 딜리클레 밀도 0을 갖는다. 이는 글로벌 리프팅의 구성에 기여한다.