[논문 리뷰] Lifting Theorems and Smooth Profinite Groups

Charles De Clercq, Mathieu Florence|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 분할 거듭제곱과 폰트리아진 쌍대성을 사용하여 위트 환 위의 모듈러스에 대한 표준적 리프팅 프레임워크를 도입하며, $p$-primary 계수를 가진 매끄러운 프로파르티프 군의 코homology에 대한 안정적 리프팅 정리를 수립한다. 주요 기여는 $ℚ/\!p^2\u2124 \to \u211a/\!p\u2124$에 대한 일반적인 내림정리 결과로, 이는 블로흐-카토 추측의 명시적 증명을 위한 기초 도구를 제공한다.

ABSTRACT

This work is motivated by the search for an "explicit" proof of the Bloch-Kato conjecture in Galois cohomology, proved by Voevodsky. Our concern here is to lay the foundation for a theory that, we believe, will lead to such a proof- and to further applications. Let p be a prime number. Let k be a perfect field of characteristic p. Let m be a positive integer. Our first goal is to provide a canonical process for "lifting" a module M, over the ring of Witt vectors $W_m(k)$ (of length m), to a $W_{m+1}(k)$-module, in a way that deeply respects Pontryagin duality. These are our big, medium and small Omega powers, each of which naturally occurs as a direct factor of the previous one. In the case where M is a k-vector space, they come equipped with Verschiebung and Frobenius operations. If moreover the field k is finite, Omega powers are endowed with a striking extra operation: the Transfer, to shifted Omega powers of finite-codimensional linear subspaces. To show how this formalism fits into Galois theory, we first offer an axiomatized approach to Hilbert's Theorem 90 (or more precisely, to its consequence for cohomology with finite coefficients: Kummer theory). In the context of profinite group cohomology, we thus define the notions a cyclotomic G-module, and of a smooth profinite group. We bear in mind that the fundamental example is that of an absolute Galois group, together with the Tate module of roots of unity. We then define the notion of exact sequences of G-modules of Kummer type. To finish, we give applications of this formalism. The first ones are the Stable Lifting Theorems, enabling the lifting to higher torsion in the cohomology of smooth profinite groups, with p-primary coefficients. We finish by an application to p-adic deformations. We state and prove a general descent statement, for the quotient map $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} ightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

연구 동기 및 목표

• 위트 환 $\mathbf{W}_m(k)$ 위의 모듈러스를 $\mathbf{W}_{m+1}(k)$로 표준적으로 리프팅하는 과정을 개발하고, 폰트리아진 쌍대성을 유지한다.
• Frobenius 및 버쉬베이크 연산과 함께, 오메가 거듭제곱(큰, 중간, 작은)을 함의적 구성으로 정의하고 연구한다.
• 힐베르트의 정리 90을 프로파르티프 군 코hom올로지의 맥락에서 공리화하며, 순환적 $G$-모듈러스와 매끄러운 프로파르티프 군을 도입한다.
• 특히 $p$-adic 변형의 맥락에서, $p$-primary 계수를 가진 갈루아 코hom올로지에 대한 안정적 리프팅 정리를 수립한다.
• 몫사상 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$에 대한 일반적인 내림정리를 증명하며, 리프팅과 내림을 새로운 방식으로 연결한다.

제안 방법

• 분할 거듭제곱을 사용하여 $\mathbf{W}_m(k)$-모듈러스 위에서 큰, 중간, 작은 오메가 거듭제곱을 상호 직접 인자로 구성한다.
• 모듈러스 $M$이 $k$-벡터 공간일 경우, 이러한 오메가 거듭제곱에 Frobenius 및 Verschiebung 연산을 부여한다.
• $k$가 유한체일 경우 유한 코차원 부분공간에 대해 오메가 거듭제곱 위에 전달 연산을 도입한다.
• 폰트리아진 쌍대성을 적용하여 오메가 거듭제곱과 그 쌍대 간의 표준적 쌍대성을 확보한다.
• 갈루아 코호몰로지에서 영감을 얻은 공리들에 기반하여 순환적 $G$-모듈러스와 매끄러운 프로파르티프 군을 정의한다.
• 사슬 17.9에서 사상 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$에 대한 내림정리(정리)를 증명하며, $2$-평탄 링이 프로베니우스를 리프팅할 조건이 $\gamma_p$가 프로베니우스의 핵을 보존하는 것과 정확히 동치임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 위트 환 $\mathbf{W}_m(k)$-모듈러스를 $\mathbf{W}_{m+1}(k)$-모듈러스로 폰트리아진 쌍대성을 유지하면서 표준적으로 리프팅할 수 있는가?
• RQ2 분할 거듭제곱과 오메가 거듭제곱은 $p$-primary 코호몰로지에 대한 안정적 리프팅 정리를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 Frobenius 및 Verschiebung 연산은 $k$-벡터 공간 맥락에서 오메가 거듭제곱 구성과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 유한체의 맥락에서 전달 연산은 오메가 거듭제곱의 쌍대성 구조에 대해 어떤 자연스러운 보완이 되는가?
• RQ5 사상 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$에 대해 일반적인 내림정리를 구성할 수 있으며, 이는 $p$-adic 변형과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 안정적 리프팅 정리(정리 16.2 및 16.3)는 매끄러운 프로파르티프 군에서 $p$-primary 계수를 가진 코호몰로지 클래스를 리프팅할 수 있는 메커니즘을 제공한다.
• 코로나리 16.4는 두 번째 안정적 리프팅 정리를 갈루아 코호몰로지에 대한 두 차원 갈루아 표현의 값으로 구체적인 진술로 번역한다.
• 정리 17.9는 사상 $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$에 대한 내림정리를 수립하며, $2$-평탄 링이 프로베니우스를 리프팅할 조건이 $\gamma_p$가 프로베니우스의 핵을 보존하는 것과 정확히 동치임을 보여준다.
• 정리 17.11의 동치관계는 $A$ 위에 프로베니우스 리프팅이 존재하는 것과 $\gamma_p$가 $\mathrm{Ker}(\mathrm{Frob}_A)$를 자신 안으로 보존하는 것 사이에 정확한 동치관계가 있음을 보여준다.
• $I = \mathrm{Ker}(\mathrm{Frob}_A)$ 위에 $PD$-이deo의 구조가 존재하는 것과 $\gamma_p$가 $I$를 보존하는 것은 동치이며, 이는 $\gamma_p$에 의해 유일하게 결정된다.
• $I = I^2$일 경우, 조건 $\gamma_p(I) \subset I$는 $\gamma_p = 0$을 암시하며, 이는 $A$가 $\mathbb{F}_p$ 위에서 완전하다는 것을 강제한다.