[논문 리뷰] Lifting up the proof theory to the countables : Zermelo-Fraenkel set theory

Toshiyasu Arai|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 29.

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한 줄 요약

이 논문은 Zermelo-Fraenkel 집합론(ZF)에 대해 비효율적인 순서수 분석을 제안하며, 비가산 순서수를 가산 순서수로 매핑하는 붕괴 함수를 정의하여 ZF+(V=L)에서 증명 가능한 정의 가능한 가산 순서수의 증명 이론적 상한으로 $Ψ_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}$를 확립한다. 분석은 연산자 제어 유도와 스코렘 힐을 사용하여 컷 제거를 형식화하고, 일阶 조건을 만족하는 집합이 존재해야 하는 구조적 계층 수준에 대한 상한을 도출한다.

ABSTRACT

We describe the countable ordinals in terms of iterations of Mostowski collapsings. This gives a proof-theoretic bound of definable countable ordinals in the Zermelo-Fraenkel's set theory ZF.

연구 동기 및 목표

• ZF 집합론에서 가산 순서수로의 재귀적 증명이론적 기법의 확장을 이루는 것.
• ZF+(V=L)에서 정의 가능한 가산 순서수의 복잡도를 상한으로 제시하는 비효율적인 순서수 분석을 제공하는 것.
• 일阶 조건을 만족하는 집합이 존재하는 특정 수준의 구조적 계층 $L_\alpha$ 내에서의 존재를 형식화하는 것.
• ZF+(V=L)에서 증명 가능한 일阶 공식을 만족하는 실수는 어떤 $n<\omega$에 대해 반드시 $L_{\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)}$ 내에 존재해야 한다는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 비가산 정칙 기수 $\kappa \leq I$에 대해, $\varepsilon_{I+1}$ 이하의 순서수를 $\kappa$ 이하의 순서수로 매핑하는 붕괴 함수 $\Psi_{\kappa,n}\alpha$를 도입한다.
• 스코렘 힐 $Cl(X;\mathcal{F})$를 사용한 연산자 제어 유도를 통해 유도 내 순서수를 제어하고, 정의 가능한 함수에 대해 닫힘을 보장한다.
• 컷 제거를 시뮬레이션하고 증명 복잡도를 추적하기 위해 증명 체계의 계층 $({\cal H}_{b+1,n}, \omega_1, n) \vdash^c_0 \Gamma$를 적용한다.
• $\Sigma_{n+1}$-정의 가능한 술어를 사용하여 붕괴 함수의 상을 특성화하고, $\text{FiX}^i(\text{ZFL})$ 내에서의 형식화 가능성을 보장한다.
• $\Sigma_1$ 및 $\Sigma_n$ 추론에 대해 유계성과 진리 보존 원리를 적용하여, 컷이 없는 유도가 $L_I$ 내에서 진리임을 보장한다.
• ZF+(V=L)의 증명 이론적 강도를 $n<\omega$에 대해 $\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)$의 상한으로 감소시켜, $\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}$를 핵심 상한으로 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZF+(V=L)에서 정의 가능한 가산 순서수에 대한 증명 이론적 상한은 무엇인가?
• RQ2 재귀적 증명이론적 기법은 집합론의 비재귀적, 가산 설정으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 연산자 제어 유도와 스코렘 힐을 사용하여 일阶 조건을 만족하는 집합이 존재하는 구조적 계층 수준을 어떻게 상한으로 제한할 수 있는가?
• RQ4 붕괴 함수 $\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)$는 ZF+(V=L)에서 증명 가능한 모든 가산 순서수를 포괄하는가?
• RQ5 컷이 없는 유도의 깊이는 $\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}$에 대해 유계일 수 있는가?

주요 결과

• $\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1} = \sup_n \{ \Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1) \}$는 ZF+(V=L)에서 증명 가능한 가산 순서수의 최소 상界이다.
• 모든 $\Sigma_{n_0}$-공식 $\varphi(x)$에 대해, ZF+(V=L)가 $\exists x \in L_{\omega_1} \varphi(x)$를 증명한다면, 어떤 $n<\omega$에 대해 $\exists x \in L_{\Psi_{\omega_1,n}\omega_n(I+1)} \varphi(x)$도 증명할 수 있으며, 이 $n$은 증명의 복잡도에 따라 달라진다.
• 모든 $\alpha < \varepsilon_{I+1}$에 대해 붕괴 함수 $\Psi_{\kappa,n}\alpha$는 $\text{ZF}+(V=L)$에서 $\Sigma_{n+1}$-정의 가능하며, $\text{ZF}+(V=L)$는 모든 $\alpha < \omega_k(I+1)$에 대해 이러한 값의 존재를 증명한다.
• 증명 체계 $({\cal H}_{b+1,n}, \omega_1, n) \vdash^c_0 \Gamma$는 컷 제거를 시뮬레이션하고 $\Gamma$를 컷이 없는 방식으로 도출하는 데 사용되며, $c = \varphi\beta\beta$ 및 $\beta = \Psi_{\omega_1,n}(b)$이다.
• 전체 유도 과정은 ZF+(V=L)의 제한된 배타적 중복을 가진 보존적 확장인 $\text{FiX}^i(\text{ZFL})$ 내에서 형식화 가능하며, 이는 결과가 이론 내에서 증명 가능하다는 것을 보장한다.
• 증거의 고델 수에서 컷이 없는 유도 깊이로의 함수 $H(g)$는 ZF+(V=L) 내에서 전형적으로 증명 가능하지 않으며, $H \notin L_{\Psi_{\omega_1}\varepsilon_{I+1}}$이므로 이 함수의 성장은 시스템의 증명 이론적 강도를 초월한다.