[논문 리뷰] Lifts, Discrepancy and Nearly Optimal Spectral Gaps

Yonatan Bilu, Nati Linial|arXiv (Cornell University)|2003. 12. 01.

Graph theory and applications참고 문헌 6인용 수 52

한 줄 요약

이 논문은 2-리프트를 활용하여 최대 차수 d인 그래프에서 d-정규 그래프를 다항시간 알고리즘으로 구성함으로써, 거의 최적의 스펙트럴 갭을 갖는다는 것을 증명한다. 모든 그래프가 최대 차수 d를 갖는다면, 모든 새로운 고유값이 O(√d log³d) 내에 포함되는 2-리프트가 존재함을 보이며, 이는 이전의 결과를 향상시키고 알론-보파나 경계에 가까워진다. 핵심 기술 도구는 행의 l1 노름과 지지 집합이 서로 겹치지 않는 벡터 비율을 사용한 대칭 행렬의 스펙트럴 반경 상한이다.

ABSTRACT

Let G be a graph on n vertices. A 2-lift of G is a graph H on 2n vertices, with a covering map π: H → G. It is not hard to see that all eigenvalues of G are also eigenvalues of H. In addition, H has n “new” eigenvalues. We conjecture that every d-regular graph has a 2-lift such that all new eigenvalues are in the range [−2 √ d − 1,2 √ d − 1] (If true, this is tight, e.g. by the Alon-Boppana bound). Here we show that every graph of maximal degree √ d has a 2-lift such that all “new ” eigenvalues are in the range [−c dlog 3 √ d,c dlog 3 d] for some constant c. This leads to a polynomial time algorithm for constructing √ arbitrarily large d-regular graphs, with second eigenvalue O ( dlog 3 d). The proof uses the following lemma (Lemma 3.3): Let A be a real symmetric matrix such that the l1 norm of each row in A is at most |xAy| d. Let α = maxx,y∈{0,1} n,supp(x)∩supp(y)= ∅ ||x||||y||. Then the spectral radius of A is at most cα log(d/α), for some universal constant c. An interesting consequence of this lemma is a converse to the Expander

연구 동기 및 목표

• d-정규 그래프에서 알론-보파나 경계에 가까운 스펙트럴 갭을 거의 달성하는 2-리프트의 존재성을 확립한다.
• 두 번째 고유값이 O(√d log³d) 이내로 제한되는 임의의 크기의 d-정규 그래프를 구성하는 다항시간 알고리즘을 개발한다.
• l1 행 노름과 지지 집합이 서로 겹치지 않는 벡터 비율에 기반한 대칭 행렬에 대한 새로운 스펙트럴 반경 상한을 증명함으로써, 리프트된 그래프에서 고유값 제어를 가능하게 한다.

제안 방법

• n-정점 그래프 G에서 2n-정점 그래프 H를 2-리프트를 통해 구성함으로써, G의 모든 고유값을 유지하고 n개의 새로운 고유값을 도입한다.
• 실수 대칭 행렬 A의 l1 행 노름이 유한한 경우, 스펙트럴 반경이 cα log(d/α) 이내임을 보여주는 핵심 보조정리를 적용한다. 여기서 α는 서로 지지 집합이 겹치지 않는 벡터들의 l2 노름 비율의 최댓값이다.
• α = max_{x,y ∈ {0,1}^n, supp(x) ∩ supp(y) = ∅} ||x|| ||y|| / ||x|| ||y|| 로 정의되며, 이는 행렬 내의 구조적 희소성의 척도를 반영한다.
• 이 보조정리를 사용하여 2-리프트에서의 새로운 고유값을 상한으로 제한하며, 어떤 상수 c에 대해 [−c d log³√d, c d log³d] 범위 내에 존재함을 보인다.
• 제어된 고유값 상한을 갖는 2-리프트 구성법을 반복적으로 적용함으로써 다항시간 알고리즘을 구성한다.
• 이 상한을 활용하여, 임의의 d-정규 그래프에 대해 모든 새로운 고유값이 O(√d log³d) 내에 포함되는 2-리프트가 존재함을 보인다. 이는 이론적 한계에 가까워진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 d-정규 그래프는 모든 새로운 고유값이 O(√d log³d) 이내에 포함되는 방식으로 2-리프트될 수 있는가? 이는 알론-보파나 경계에 가까워진다.
• RQ2 l1 행 노름이 유한하고 희소한 지지 구조를 갖는 대칭 행렬에 대해 어떤 스펙트럴 반경 상한을 유도할 수 있는가?
• RQ3 두 번째 고유값이 O(√d log³d) 이내로 제한되는 d-정규 그래프를 구성하는 다항시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 서로 지지 집합이 겹치지 않는 벡터들의 l2 노름 비율 α는 실수 대칭 행렬의 스펙트럴 반경과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 스펙트럴 반경에 대한 이 보조정리는 그래프 리프트에서 거의 최적의 스펙트럴 갭을 증명하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 d-정규 그래프는 새로운 고유값의 절댓값이 O(√d log³d) 이내로 제한되는 2-리프트를 갖는다. 이는 알론-보파나 하한에 가까워진다.
• 새로운 스펙트럴 반경 상한이 증명되었다: 실수 대칭 행렬 A의 l1 행 노름이 d 이하일 경우, 스펙트럴 반경은 cα log(d/α) 이내이다. 여기서 α는 지지 집합이 서로 겹치지 않는 0-1 벡터들의 l2 노름 비율의 최댓값이다.
• 이 상한은 2-리프트를 통해 두 번째 고유값이 O(√d log³d) 이내로 달성될 수 있음을 시사하며, 이는 이전 결과보다 크게 향상된다.
• 이 구성법은 임의로 큰 d-정규 그래프를 거의 최적의 스펙트럴 갭을 갖도록 생성하는 다항시간 알고리즘을 이끈다.
• 이 보조정리는 행렬의 희소성과 스펙트럴 행동 간의 관계를 연결하는 전환적 성질을 지닌다.
• 알론-보파나 경계에 따르면 Ω(√d)가 가능한 최고의 스펙트럴 갭이므로, 결과는 로그 인자에 대해 최적임이 입증된다.