[논문 리뷰] Lifts of spherical Morse functions

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 구형 모어스 함수—정상 수준 집합이 서로 겹치지 않는 원판의 합집합인 모어스 함수—를 고차원 유클리드 공간 내의 매장, 임베딩 및 특수 일반 맵으로의 업링을 위한 새로운 업링 구조를 제안한다. 주요 기여는 고차원에서의 미분 동형군의 연결성과 그롬올 필터링을 활용하여, 서로 동치가 아닌 두 개의 구형 모어스 함수가 업링된 후에도 $C^{\infty}$-동치가 되는 충분조건을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

In studies of smooth maps with good differential topological conditions such as immersions, embeddings, Morse functions and their higher dimensional versions including fold maps and application to geometry, especially algebraic and differential topology of manifolds, liftings or desingulizations of maps of appropriate classes to other maps of other appropriate classes are fundamental and important. In this paper, we consider Morse functions such that inverse images of regular values are disjoint unions of spheres, which are extensions of Morse functions with just two singular points on homotopy spheres, and defined and studied by Saeki and Suzuoka in 2000s, and lift them to immersions, embeddings and special generic maps, which are regarded as higher dimensional versions of Morse functions with just 2 singular points before. In lifting smooth maps, we usually lift them to immersions or embeddings and in this paper, as new works, we consider lifts to special generic maps, whose codimensions are not positive. In addition, we construct most of lifts by new methods.

연구 동기 및 목표

• 구형 모어스 함수—두 개의 특이점만을 가진 모어스 함수의 일반화—를 고차원 맵으로 체계적으로 업링하는 방법을 개발하는 것.
• 기존의 모어스 함수 및 안정 맵에 대한 업링 결과를 정상 섬유가 원판의 합집합인 새로운 종류의 맵으로 확장하는 것.
• 서로 동치가 아닌 구형 모어스 함수의 업링이 특수 일반 맵으로 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치가 되는 조건을 조사하는 것.
• 특히 구형 미분 동형군과 관련하여 이러한 업링을 통해 보존되는 위상수학적 및 미분 기하학적 불변량을 탐색하는 것.
• 원천 함수가 서로 동치가 아니더라도 업링된 특수 일반 맵이 동치 클래스를 유지하는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 닫힌 다양체에서부터 $\mathbb{R}^n$으로의 매끄러운 함수로 구형 모어스 함수를 정의하며, 정상 섬유가 원판의 서로 겹치지 않는 합집합이 되도록 한다.
• 각각의 $f_k: M \to \mathbb{R}^{n+k}$ 업링을 구성하여 $f = \pi_{n+k,n} \circ f_k$를 만족시키며, $\pi_{n+k,n}$은 표준 사영이다.
• 접선 맵과 안정 맵 이론을 활용하여 업링된 맵이 일반적이며 특이 집합이 제어 가능한지 보장한다.
• 업링된 맵을 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치 클래스를 유지하면서 변형하기 위해 등장 및 호모토피 기법을 적용한다.
• 특성화된 미분 동형군의 연결성과 그롬올 필터링을 활용하여 결과적으로 생성된 특수 일반 맵의 동치성을 제어한다.
• 호모토피 구형체와 구형 섬유 위의 미분 동형 변형을 통한 연결합을 통해 명시적인 예를 구성함으로써, 서로 동치가 아닌 원천 함수를 생성하고, 동치인 업링을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 다양체 위의 두 개의 서로 동치가 아닌 구형 모어스 함수가 업링된 후 특수 일반 맵으로 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 구형 섬유의 미분 동형군의 위상수학적 성질이 특수 일반 맵으로의 업링의 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치 클래스에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 원래 함수가 정규적으로 동치가 아니더라도, 구형 모어스 함수의 특수 일반 맵으로의 업링을 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치로 만들 수 있는가?
• RQ4 특성화된 $D^{m-1}$-미분 동형의 그롬올 필터링 수가 $\mathbb{R}^n$으로의 업링의 동치 클래스를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 호모토피 구형체와의 연결합 연산 및 미분 동형 변형이 업링된 맵의 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 차원 $m > 6$인 닫힌 다양체 위의 정상적인 구형 모어스 함수 중 특수 일반 맵이 아니며, $S^{m-1}$의 특성화된 미분 동형군이 연결되어 있지 않은 경우, 이와 동치가 아닌 다른 함수가 존재한다.
• 원천 함수가 서로 동치가 아니더라도, 이들의 특수 일반 맵으로의 업링은 $\mathbb{R}^2$로의 업링에서 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치가 될 수 있다.
• $n \geq 2$ 이고 $m \geq n$ 이면, 특성화된 $D^{m-1}$-미분 동형의 그롬올 필터링 수가 $n-1$보다 크면, $\mathbb{R}^n$으로의 업링을 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치로 만들 수 있다.
• 이 구성은 연결합과 호모토피를 통해 구형 섬유 위의 미분 동형을 수정함으로써 이루어지며, 최종적으로 생성된 특수 일반 맵의 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치성을 유지한다.
• 사용된 미분 동형이 적절하게 선택되고 내장된 디스크 위에서 항등함수로 확장되면, 결과적으로 생성된 특수 일반 맵은 미분 호모토피 하에 동일하다.
• 이 절차는 원천 함수의 $C^0$-동치가 업링된 맵의 $C^{\tiny\text{∞}}$-동치를 보장하지는 않지만, 구형 미분 동형군의 위상수학적 제약 조건 하에서는 업링된 맵에서 이러한 동치성이 복원될 수 있음을 보여준다.