[논문 리뷰] Likelihood Robust Optimization for Data-driven Problems

Zizhuo Wang, Peter W. Glynn외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 24.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 관측된 역사적 데이터의 가능성도를 기반으로 분포 집합을 구성함으로써 통계적으로 타당한 분포에 대한 저항력을 보장하는 데이터 기반 분포로 부터의 강건 최적화(Likelihood Robust Optimization, LRO)를 소개한다. 이 방법은 전통적인 접근 방식보다 포트폴리오 선택 및 신문배급 문제에서 강건성과 보수성의 균형을 이루며, DRO, SS, EQ 방법보다 평균 수익률이 높고 위험이 낮은 성과를 달성하면서 암묵적으로 다각화를 촉진한다.

ABSTRACT

We consider optimal decision-making problems in an uncertain environment. In particular, we consider the case in which the distribution of the input is unknown, yet there is abundant historical data drawn from the distribution. In this paper, we propose a new type of distributionally robust optimization model called the likelihood robust optimization (LRO) model for this class of problems. In contrast to previous work on distributionally robust optimization that focuses on certain parameters (e.g., mean, variance, etc.) of the input distribution, we exploit the historical data and define the accessible distribution set to contain only those distributions that make the observed data achieve a certain level of likelihood. Then we formulate the targeting problem as one of optimizing the expected value of the objective function under the worst-case distribution in that set. Our model avoids the over-conservativeness of some prior robust approaches by ruling out unrealistic distributions while maintaining robustness of the solution for any statistically likely outcomes. We present statistical analyses of our model using Bayesian statistics and empirical likelihood theory. Specifically, we prove the asymptotic behavior of our distribution set and establish the relationship between our model and other distributionally robust models. To test the performance of our model, we apply it to the newsvendor problem and the portfolio selection problem. The test results show that the solutions of our model indeed have desirable performance.

연구 동기 및 목표

• 정확한 불확실 매개변수의 진정된 분포가 알려져 있지 않을 때 기존의 확률적 최적화 및 분포로 부터의 강건 최적화의 한계를 해결하기 위해.
• 모멘트 기반 제약(예: 평균 및 분산)에만 의존하지 않고 역사적 데이터를 활용하는 강건 최적화 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기존의 강건 방법에서 과도한 보수성을 줄이기 위해 비현실적인 분포를 배제하면서도 타당한 데이터 변동에 대한 보호를 유지하기 위해.
• 통계적으로 탄탄하고 유연하며 계산적으로 실현 가능한 데이터 기반 의사결정 모델을 제공하기 위해.
• 실제 응용 분야인 포트폴리오 선택 및 신문배급 문제에서 LRO 모델의 성능을 경험적으로 검증하기 위해.

제안 방법

• LRO 모델은 관측된 역사적 데이터에 대해 최소 가능성 임계값을 할당하는 확률 분포만 포함하는 분포 집합을 정의한다.
• 이 가능성 기반 분포 집합 위에서 최악의 경우 기대 목적함수를 최적화함으로써 통계적으로 타당한 분포에 대한 강건성을 확보한다.
• empirical likelihood 이론을 사용하여 분포 집합을 구성하며, 여기서 분포는 관측된 데이터가 최소 로그 가능성 수준을 확보하도록 제약된다.
• 결과적으로 최적화 문제는 볼록이며 계산적으로 실현 가능하며, 특히 점근 이론을 통해 가능성 임계값을 카이제곱 분포와 연결할 수 있다.
• 추가적인 볼록 제약(예: 모멘트 또는 위험 측정 기반 제약)을 통합할 수 있어 실용적 응용에 대한 유연성을 높인다.
• 수치적 검증은 2001–2004년 동안의 S&P 500 역사적 데이터를 사용하며, 데이터 창은 30일 롤링 윈도우로 설정하고, LRO를 SS, EQ, DRO 접근 방식과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 모멘트 기반 DRO보다 통계적으로 의미 있고 더 보수적이지 않은 분포로 부터의 강건 최적화 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 가능성 기반 분포 집합은 비현실적인 분포를 효과적으로 배제하면서도 타당한 데이터 변동에 대한 강건성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 실제 데이터 기반 문제에서 LRO 모델은 기존의 강건 및 확률적 최적화 방법과 비교해 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 LRO 모델은 명시적으로 강제하지 않더라도 암묵적으로 포트폴리오의 다각화를 촉진하는가?
• RQ5 가능성 기반 분포 집합의 점근적 행동은 무엇이며, 다른 DRO 모델과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• S&P 500 데이터에 대한 100회의 실험에서 LRO 방법은 단일 주식(SS) 방법보다 65%의 경우에서 승리했고, 동일한 주식(EQ) 방법보다 60%의 경우에서 승리했다.
• 721일 동안의 테스트 기간 동안 LRO 방법은 SS 방법 대비 평균 수익률 1.8% 향상, EQ 방법 대비 1.1% 향상 달성했다.
• LRO 방법의 일일 수익률 표준편차는 2.3%였으며, 이는 SS(3.3%)보다 유의미하게 낮고 DRO(2.4%)와 유사했다.
• LRO 방법은 암묵적으로 다각화를 달성했다: 52%의 경우에 한 종목을 선택했고, 39%의 경우에 두 종목을 선택했으며, 8%의 경우에 세 종목을 선택했다.
• empirical likelihood 및 베이지안 분석을 통한 강력한 통계적 기반을 확보했으며, 점근적 성질을 통해 가능성 임계값이 카이제곱 분포와 연결됨을 보였다.
• LRO 프레임워크는 볼록성과 실현 가능성을 유지하면서도 추가적인 볼록 제약(예: 모멘트 또는 위험 제약)을 통합할 수 있어 매우 탄력적이다.