[논문 리뷰] Limit free computation of entropy

Dikran Dikranjan, Anna Giordano Bruno|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 유한한 군의 내형사상과 완전히 이산적인 컴팩트 군의 연속 내형사상의 설정에서 대수적 및 위상적 엔트로피를 계산하기 위한 극한이 없는 공식을 제시한다. 핵심 기여는 극한을 피하기 위해 군의 순서 비율을 로그로 표현함으로써 엔트로피를 새로운 대수적 공식으로 제시하는 것으로, 이는 아벨 경우에서 대수적 엔트로피와 위상적 엔트로피 사이의 쌍대성을 직접적으로 이끌어내며, 자동형사상의 유한 깊이와 위상적 엔트로피 사이의 정확한 연결고리를 확립한다.

ABSTRACT

Various limit-free formulas are given for the computation of the algebraic and the topological entropy, respectively in the settings of endomorphisms of locally finite discrete groups and of continuous endomorphisms of totally disconnected compact groups. As applications we give new proofs of the connection between the algebraic and the topological entropy in the abelian case and of the connection of the topological entropy with the finite depth for topological automorphisms.

연구 동기 및 목표

• 비아벨 및 비콤팩트 설정에서 대수적 및 위상적 엔트로피를 계산하기 위한 극한이 없는 공식을 개발하기 위해.
• 점점 커지는 극한을 취할 필요 없이 직접적인, 극한 기반의 표현을 통한 엔트로피의 표현을 제공하기 위해.
• 포트리아긴 쌍대성 통한 대수적 엔트로피와 위상적 엔트로피 사이의 정확한 연결고리를 확립하기 위해.
• 위상적 자동형사상에서의 유한 깊이 개념과 위상적 엔트로피 사이의 관계를 명확히 하기 위해.
• 탄성 군의 비자기 내형사상에 대해 윤지니의 공식을 다중성 없이 새로운 방식으로 증명하기 위해.

제안 방법

• 지역적으로 유한한 군 G에서 내형사상 φ에 의해 유한 부분군 F의 n번째 φ-궤적 T_n(φ,F)을 도입한다.
• F에 대한 φ의 대수적 엔트로피를 (log |T_n(φ,F)|)/n의 극한으로 정의하고, 이 극한이 존재함을 증명한다.
• 극한이 없는 공식을 제안한다: H_alg(φ,F) = log|T(φ,F)/φ(T(φ,F))| − log|ker φ ∩ T(φ,F)|, ker φ ∩ T(φ,F)가 유한할 경우에 유효하다.
• 쌍대성을 적용하여 연속 내형사상 ψ가 완전히 이산적인 컴팩트 군에 대해 해당 위상 공식을 유도한다: H_top(ψ,U) = log|ψ⁻¹(C(ψ,U))/C(ψ,U)| − log|K/(Im ψ · C(ψ,U))|.
• 포트리아긴 쌍대성을 사용하여 대수적 및 위상적 공식을 연결하고, ψ = φ̂일 때 h_alg(φ) = h_top(ψ)임을 증명한다.
• 위상 공식을 적용하여, 유한 깊이를 가진 자동형사상 ψ에 대해 h_top(ψ) = log(depth(ψ))임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 엔트로피는 유한 군 몫과 핵의 교차를 통해 극한을 취하지 않고 계산될 수 있는가?
• RQ2 아벨 경우에서 대수적 엔트로피와 위상적 엔트로피 사이의 정확한 관계는 무엇이며, 이를 다중성에 의존하지 않고 증명할 수 있는가?
• RQ3 위상적 자동형사상에서의 유한 깊이 개념은 위상적 엔트로피와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 극한이 없는 접근을 통해 윤지니의 공식을 비단사적 경우로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 이미지 및 공궤적 부분군과 같은 군론적 불변량을 통해 위상적 엔트로피에 대한 직접적인 공식이 존재하는가?

주요 결과

• 극한이 없는 대수적 엔트로피 공식이 확립되었다: H_alg(φ,F) = log|T(φ,F)/φ(T(φ,F))| − log|ker φ ∩ T(φ,F)|, ker φ ∩ T(φ,F)가 유한할 경우에 유효하다.
• 단사 내형사상의 경우 이는 H_alg(φ,F) = log|T(φ,F)/φ(T(φ,F))|로 단순화되며, 이는 윤지니의 주장이 단사 경우에 대해 확인됨을 의미한다.
• 해당 위상 엔트로피에 대한 극한이 없는 공식이 유도되었다: H_top(ψ,U) = log|ψ⁻¹(C(ψ,U))/C(ψ,U)| − log|K/(Im ψ · C(ψ,U))|, K/(Im ψ · C(ψ,U))가 유한할 조건 하에 유효하다.
• 유한 깊이를 가진 위상 자동형사상 ψ의 위상 엔트로피는 그 깊이의 로그와 같다: h_top(ψ) = log(depth(ψ)).
• 포트리아긴 쌍대성을 통한 직접적인 증명을 통해 대수적 엔트로피와 위상적 엔트로피 사이의 쌍대성이 증명되었으며, ψ = φ̂일 때 h_alg(φ) = h_top(ψ)임을 보였다.
• 이 결과는 ψ-공궤적이 자명한 무한 컴팩트 군의 경우 위상 엔트로피가 양이며, |ker ψ| > |coker ψ|를 만족함을 암시한다.