[논문 리뷰] Limit measures of inhomogeneous discrete-time quantum walks in one dimension

Norio Konno, Tomasz Łuczak외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원점에 단일 결함이 있는 1차원 비균질 이산시간 양자 산책에서 시간 평균, 약한 한계, 정적 조건을 조사한다. 경로 수세기와 스펙트럼 분석을 통해 이 산책이 특정한 보편적 약한 한계 측도 형태를 가지는 보편성 클래스에 속함을 입증하고, 특정 초기 상태가 히드라드 산책의 균일한 정적 측도와 결함 모델의 시간 평균 한계 측도를 유도함을 보여준다.

ABSTRACT

We treat three types of measures of the quantum walk (QW) with the spatial perturbation at the origin, which was introduced by [1]: time averaged limit measure, weak limit measure, and stationary measure. From the first two measures, we see a coexistence of the ballistic and localized behaviors in the walk as a sequential result following [1,2]. We propose a universality class of QWs with respect to weak limit measure. It is shown that typical spatial homogeneous QWs with ballistic spreading belong to the universality class. We find that the walk treated here with one defect also belongs to the class. We mainly consider the walk starting from the origin. However when we remove this restriction, we obtain a stationary measure of the walk. As a consequence, by choosing parameters in the stationary measure, we get the uniform measure as a stationary measure of the Hadamard walk and a time averaged limit measure of the walk with one defect respectively.

연구 동기 및 목표

• 원점에서 공간적 비균질성이 있는 1차원 양자 산책의 장기적 행동을 특성화하는 것, 특히 국소화와 궤도적 확산이 공존하는 경우에 중점을 두는 것.
• 원점에 단일 결함이 있는 양자 산책이 특정한 약한 한계 측도 형태를 가지는 알려진 보편성 클래스에 속하는지 여부를 규명하는 것.
• 초기 상태가 원점에 국한되지 않은 경우에도 산책의 정적 측도를 유도하는 것. 이는 원점에서의 표준 초기 조건을 초월한다.
• 정적 측도가 히드라드 산책의 균일한 측도로 감소하거나 결함 모델의 시간 평균 한계 측도와 일치하는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 경로 수세기 방법을 적용하여 통과 가중치의 생성함수를 계산함으로써 시간 평균 및 약한 한계 측도의 정확한 분석이 가능해진다.
• 시간 진동 연산자 $U^{(s)}$의 스펙트럼 이론과 고유벡터 분석을 사용하여 일반적인 초기 상태에 대한 정적 측도를 도출한다.
• 보편적 약한 한계 측도 형태를 활용: $\mu(dx) = C\delta_0(x) + w(x)f_K(x;r)\,dx$, 여기서 $f_K$는 매개수 $r \in (0,1)$를 가지는 반원형 유사 밀도이다.
• 원점에서 출발하는 산책의 점근적 행동을 분석하여 시간 평균 한계 측도의 명시적 표현을 도출한다.
• 무한한 공간적 지지를 가지는 초기 상태를 선택함으로써 진동 연산자 $U^{(s)}$의 고유벡터가 되는 정적 측도를 구성한다.
• 정적 측도의 매개수를 조정하여 결함 산책의 시간 평균 한계 측도를 재현함으로써 특정 초기 조건 하에서 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원점에 단일 결함이 있는 양자 산책이 보편적 약한 한계 측도 형태를 가지는 보편성 클래스에 속하는가?
• RQ2 초기 상태가 원점에 국한되지 않은 경우에도 산책에 대한 정적 측도를 도출할 수 있는가?
• RQ3 정적 측도가 히드라드 산책에서 균일한 측도로 감소하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 특정 초기 상태를 가진 정적 측도가 결함 산책의 시간 평균 한계 측도를 정확히 재현할 수 있는가?
• RQ5 궤도적 행동과 국소화 행동이 동시에 존재할 때, 이들이 시간 평균 및 약한 한계 측도에 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 단일 결함이 있는 산책은 $\mu(dx) = C\delta_0(x) + w(x)f_K(x;r)\,dx$ 형태의 약한 한계 측도를 가지는 보편성 클래스에 속하며, $C \in [0,1)$ 이므로 보편적인 점근적 행동을 확인한다.
• 초기 상태를 $U^{(s)}$의 고유벡터로 선택하고, $|\phi_0^{(L)}|^2 = \overline{\mu}_\infty^{(\Psi_0,L)}(0)$ 및 $|\phi_0^{(R)}|^2 = \overline{\mu}_\infty^{(\Psi_0,R)}(0)$ 를 만족시키면, 정적 측도는 정확히 시간 평균 한계 측도와 일치한다.
• 히드라드 산책의 경우, $|\phi_0^{(L)}|^2 = |\phi_0^{(R)}|^2 = c/2$ 및 $\omega = 0$ 으로 선택하면 모든 $x \in \mathbb{Z}$ 에 대해 균일한 정적 측도 $\mu_I^{(\widetilde{\Psi}_0)}(x) = c$ 를 얻는다.
• 원점에서의 시간 평균 한계 측도는 $\overline{\mu}_\infty^{(\Psi_0)}(0) = \left(\frac{1 - \cos\omega}{3 - 2\cos\omega}\right)^2 \left(1 \pm \frac{\sin\omega}{1 + \sin^2\omega}\right)$ 로 명시적으로 계산되며, 편광 방향에 따라 달라진다.
• 일반적인 초기 상태에 대한 도출된 정적 측도는 $|x|$ 에 대해 지수적 감쇠를 보이며, 진폭은 $\frac{1}{3 - 2\cos\omega}$ 와 편광에 따라 달라지는 계수에 의해 조절된다.
• 무한한 지지를 가지는 정적 측도의 존재는, 일반적으로 결함 지점에서 출발할 경우 국소화가 발생하는 시스템에서도 국소화를 피할 수 있음을 가능하게 한다.