[논문 리뷰] Limit of Gaussian and normal curvatures of surfaces in Riemannian approximation scheme for sub-Riemannian three dimensional manifolds and Gauss-Bonnet theorem

José M. M. Veloso|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 17.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원 부분리만다이니안 다양체 내 표면에 대한 가우스-봄제 정리를 리만다이니안 근사의 극한을 취하여 수립한다. $L \to \infty$일 때 부분리만다이니안 구조로 분해되는 메트릭의 가족 $<,>_{L}$을 사용하여, 가우스 곡률 $K$와 법선 곡률 $k_n$이 함수 $A$에만 의존하는 잘 정의된 극한으로 수렴함을 보이며, 이에 따라 부분리만다이안 가우스-봄제 공식 $ \int_R K\,d\sigma + \int_\gamma k_n\,ds = 0$을 도출한다. 핵심 결과는 내재된 부분리만다이안 설정에서 유효한 기하학적 가우스-봄제 정리이다.

ABSTRACT

The authors Balogh-Tyson-Vecchi in arXiv:1604.00180 utilize the Riemannian approximations scheme $(\mathbb H^1,_L)$, in the Heisenberg group, introduced by Gromov, to calculate the limits of Gaussian and normal curvatures defined on surfaces of $\mathbb H^1$ when $L ightarrow\infty$. They show that these limits exist (unlike the limit of Riemannian surface area form or length form), and they obtain Gauss-Bonnet theorem in $\mathbb H^1$ as limit of Gauss-Bonnet theorems in $(\mathbb H^1,_L)$ when $L$ goes to infinity. This construction was extended by Wang-Wei in arXiv:1912.00302 to the affine group and the group of rigid motions of the Minkowski plane. We generalize constructions of both papers to surfaces in sub-Riemannian three dimensional manifolds following the approach of arXiv:1909.13341, and prove analogous Gauss-Bonnet theorem.

연구 동기 및 목표

• 리만다이니안 근사에서 헤이젠베르크 군과 아핀 군에 대한 가우스-봄제 정리를 일반화하여 임의의 3차원 부분리만다이안 다양체로 확장하는 것.
• 리만다이니안 근사 체계 $<,>_{L}$에 따른 표면의 가우스 곡률과 법선 곡률의 극한을 정의하고 분석하는 것.
• 극한 곡률과 하우스도르프 측도를 사용하여 부분리만다이안 가우스-봄제 공식을 도출하는 것.
• 극한 곡률 $K$와 $k_n$이 표면과 수평 분포 간의 각도를 코딩하는 함수 $A$에만 의존한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 접선다양체 위에 $e_1, e_2$가 정규직교이고 $e_3^L = e_3 / \sqrt{L}$인 일파라미터 가중 리만다이니안 메트릭 $<,>_{L}$의 가족을 구성하여 리만다이니안 연결 $\overline{\nabla}^L$을 정의한다.
• 표면 $S$ 위에서 정규직교 기저 $X_2^L = f_2$, $X_3^L = f_3 / \sqrt{L + A^2}$를 정의하고, $<,>_{L}$ 메트릭에서의 법선 벡터 $X_1^L$을 계산한다.
• 유도된 연결 $\nabla^L$을 사용하여 표면에서 리만다이니안 가우스 곡률 $K^L$과 법선 곡률 $k_n^L$을 계산한 후, $L \to \infty$로의 극한을 취한다.
• $\lim_{L\to\infty} K^L = K = -dA(f_2) - A^2$ 및 $\lim_{L\to\infty} k_n^L = k_n = \frac{y}{|y|}A$임을 보이며, 여기서 $A$는 수평 분포와 표면 분포 간의 각도와 관련된 함수이다.
• 극한 면적 형식 $d\sigma = f^2 \wedge f^3$과 길이 형식 $ds = \frac{y}{|y|}f^3$을 $d\sigma_L$과 $ds_L$을 $1/\sqrt{L}$로 스케일링하여 정의하여 하우스도르프 측도를 복원한다.
• 스토크스 정리를 극한 형식에 적용하여 가우스-봄제 공식 $ \int_R K\,d\sigma + \int_\gamma k_n\,ds = 0$을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분리만다이안 3차원 다양체에서의 가우스-봄제 정리는 고로프-리만다이니안 근사 체계를 통해 리만다이니안 가우스-봄제 정리의 극한으로 유도될 수 있는가?
• RQ2 면적 및 길이 요소의 수렴이 이루어지지 않음에도 불구하고, $<,>_{L}$-근사 체계에 따라 표면의 가우스 곡률과 법선 곡률이 $L \to \infty$일 때 수렴하는가?
• RQ3 표면의 기하학적 자료와 부분리만다이안 구조에 대해 가우스 곡률 $K$의 명시적 극한 표현은 무엇인가?
• RQ4 횡방향 곡선의 법선 곡률 $k_n$의 극한 표현은 무엇이며, 함수 $A$와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 극한 곡률과 하우스도르프 측도를 사용하여 부분리만다이안 설정에서 일관된 가우스-봄제 공식을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 함수 $A$가 수평 분포와 표면 간의 각도를 코딩하는 데 사용되며, $<,>_{L}$-근사 체계 하에서 가우스 곡률 $K^L$의 극한이 존재하고, 이는 $K = -dA(f_2) - A^2$와 같다.
• 법선 곡률 $k_n^L$의 극한이 존재하며, 이는 $k_n = \frac{y}{|y|}A$와 같으며, 이는 오직 $A$와 곡선의 방향에만 의존한다.
• 표면에서의 극한 면적 형식은 $d\sigma = f^2 \wedge f^3$이며, 부분리만다이안 메트릭에서의 내재된 하우스도르프 측도와 일치한다.
• 횡방향 곡선에 대한 극한 길이 형식은 $ds = \frac{y}{|y|}f^3$이며, 이 역시 그러한 곡선에서의 하우스도르프 측도와 일치한다.
• 부분리만다이안 극한에서의 가우스-봄제 공식은 $ \int_R K\,d\sigma + \int_\gamma k_n\,ds = 0$이며, 극한 형식에 대한 스토크스 정리에 의해 도출된다.
• 이 결과는 헤이젠베르크 군과 아핀 군에서의 이전 가우스-봄제 정리를, 접촉 분포를 가진 임의의 3차원 부분리만다이안 다양체로 일반화한다.