[논문 리뷰] Limit properties of exceedances point processes of scaled stationary Gaussian sequences

Hashorva, Enkelejd, Zuoxiang Peng외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 19.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 스케일링 분포의 Weibull 꼬리 행동과 약한 의존성 하에서 무작위로 스케일링된 정적(stationary) 가우시안 시계열에 대한 초과점 프로세스의 점근적 분포를 확립한다. 최대값과 최소값이 점근적으로 독립적임을 증명하며, 이는 이전 연구에서 수축된 시계열에만 국한되었던 결과를 수축 및 팽창된 시계열 모두 포함하는 것으로 확장한다.

ABSTRACT

We derive the limiting distributions of exceedances point processes of randomly scaled weakly dependent stationary Gaussian sequences under some mild asymptotic conditions. In the literature analogous results are available only for contracted stationary Gaussian sequences. In this paper, we include additionally the case of randomly inflated stationary Gaussian sequences with a Weibullian type random scaling. It turns out that the maxima and minima of both contracted and inflated weakly dependent stationary Gaussian sequences are asymptotically independent.

연구 동기 및 목표

• 스케일링 분포에서 Weibull 꼬리 행동을 보이는 무작위로 스케일링된 정적 가우시안 시계열에 대한 이변량 초과점 프로세스의 약한 수렴을 확립하기.
• 이전에 수축된 시계열에 국한되었던 기존 결과를, 꼬리가 두꺼운 스케일링을 가진 무작위로 팽창된 시계열의 경우까지 확장하기.
• Berman 조건 하에서 수축 및 팽창된 약한 의존성 가우시안 시계열의 최대값과 최소값이 점근적으로 독립적임을 증명하기.
• 상위 및 하위 순서통계량의 공동 점근적 분포 분석을 가능하게 하는 점프로세스 프레임워크 개발하기.

제안 방법

• 이중 초과점 프로세스 프레임워크를 사용하여 스케일링된 가우시안 시계열의 극단값을 모델링하며, 수준은 정규화된 수열 $ u_n(x) = a_n x + b_n $ 로 정의한다.
• 고임계수 이하의 초과값에 대한 상위 및 하위 극단값의 공동 점근적 분포를 분석하기 위해 점프프로세스 접근법을 적용한다.
• 약한 의존성과 최대값의 Gumbel 수렴을 보장하기 위해 Berman 조건 $ \lim_{n\to\infty} \rho(n) \ln n = 0 $ 을 도입한다.
• 스케일링된 랜덤 변수 $ Y = S X $ 의 꼬리 행동을 분석하며, 점근적 꼬리 확률 $ \mathbb{P}(Y > u) \sim g(u) \exp(-T u^{2p/(2+p)}) $ 을 유도한다.
• 중첩된 간격에서의 동시 초과확률를 제어하기 위해 레베그 측도를 포함한 경계를 사용하여 레미마 3.4 및 3.5 를 활용한다.
• 이중점프로세스 $ \mathbf{N}_n $ 이 실수선 위에서 강도 $ \exp(-x) $ 를 가진 혼합 포아송 프로세스로 약한 수렴함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스케일링 분포가 Weibull 꼬리 행동을 보일 때, 무작위로 스케일링된 정적 가우시안 시계열의 초과점 프로세스가 약한 수렴을 보이는가?
• RQ2 Berman 조건 하에서 이러한 스케일링된 시계열의 최대값과 최소값은 점근적으로 독립적인가?
• RQ3 이중점프로세스 프레임워크를 통해 상위 및 하위 극단값의 공동 점근적 분포를 특징지을 수 있는가?
• RQ4 스케일링 분포가 유한한 끝점과 무한한 지지를 가지는 경우에 초과값의 점근적 행동은 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 이중 초과점 프로세스 $ \mathbf{N}_n $ 이 강도 $ \exp(-x) $ 를 가진 혼합 포아송 프로세스로 약한 수렴하며, 이는 고임계수 이하의 초과점 수가 포아송 분포로 수렴함을 의미한다.
• Weibull 스케일링에서 $ x_F = \infty $ 인 경우, Berman 조건 하에서 스케일링된 시계열의 최대값 $ M_n $ 은 Gumbel 분포로 수렴한다.
• 수축 및 팽창된 약한 의존성 가우시안 시계열의 최대값과 최소값은 점근적으로 독립적이며, 이는 고전적 결과를 무작위 스케일링의 경우로 확장한 것이다.
• 상위 및 하위 극단값의 공동 점근적 분포는 각각의 극한 분포의 곱으로 특징지어지며, 점근적 독립성을 확인한다.
• 의존성 구조와 스케일링 분포의 꼬리 행동에 대한 약한 조건 하에서도 수렴이 성립하며, 이는 꼬리에서의 정규화 가능 함수를 포함한다.
• 증명은 시간 간격의 레베그 측도를 포함한 경계를 통해 중첩된 초과사건의 확률을 제어하며, 최종적으로 $ m(B_1) \exp(-x_1) + m(B_2) \exp(-x_2) $ 를 포함한 극한 표현에 도달한다.