[논문 리뷰] Limit theorem for perturbed random walks

Hoang-Long Ngo, Marc Peigné|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 02.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 ℤ에서 공간적으로 비균질인 랜덤 워크에 대해 기능적 중심극한정리(central limit theorem)를 수립한다. 이 랜덤 워크는 ℤ⁻와 ℤ⁺에서 서로 다른 i.i.d. 증분 분포를 가지며 0에서 재시작되며, 약한 수렴을 통해 비대칭 브라운 운동(skew Brownian motion)으로 수렴함을 보인다. 비대칭성 파라미터 α는 증분 법칙의 재생 함수(renewal functions)와 전이 확률에 의해 명시적으로 결정되며, 이는 이전 결과를 대칭 베르누이 단계에 국한된 경우에서 일반적인 적분 가능한 증분으로 일반화하고, 대칭성 원리(invariance principle)를 초과하는 결과를 제공한다.

ABSTRACT

We consider random walks perturbed at zero which behave like (possibly different) random walks with i.i.d. increments on each half lines and restarts at $0$ whenever they cross that point. We show that the perturbed random walk, after being rescaled in a proper way, converges to a skew Brownian motion whose parameter is defined by renewal functions of the simple random walks and the transition probabilities from $0$.

연구 동기 및 목표

• ℤ에서 양의 정수와 음의 정수에서 서로 다른 증분 법칙을 갖는 공간적으로 비균질인 랜덤 워크 클래스에 대해 기능적 중심극한정리를 수립하는 것.
• 이전 결과에서 대칭 베르누이 단계로 국한된 비대칭 브라운 운동으로의 수렴을, 유한한 두 번째 모멘트를 갖는 일반적인 i.i.d. 증분으로 일반화하는 것.
• 기저 랜덤 워크의 재생 함수와 제1도달 확률을 통해 극한 비대칭 브라운 운동의 비대칭성 파라미터 α를 특성화하는 것.
• 반사 원리에 의존하는 이전 증명의 한계를 극복하기 위해, 유한차원 분포 수렴과 컴팩트성 확보를 통해 약한 수렴을 엄밀히 증명하는 것.

제안 방법

• ℤ⁺와 ℤ⁻에서 서로 다른 i.i.d. 증분 법칙을 갖는 이산시간 마코프 과정 (X(n))을 정의하고, 0을 초월할 경우 0으로 재시작하는 방식으로 정의한다.
• X(n)의 선형 보간을 통해 연속시간 과정 (X(t))를 구성하고, 1/√n 스케일링을 적용하며, 양의 상태와 음의 상태에서 각각 별도로 σ와 σ′로 스케일링한다.
• 출구 시간과 제1도달 분포에 대한 라플라스 변환을 적용하여 공동 특성 함수를 분석함으로써, 유한차원 분포의 수렴을 증명한다.
• ℤ⁺와 ℤ⁻에서의 랜덤 워크에 관련된 재생 함수 h와 h′를 사용하여, 비대칭성 파라미터 α를 기대 도달 시간과 제1도달 확률의 형태로 표현한다.
• 증분의 모멘트 유계성과 부분합의 Suprema를 통한 연속성 모듈러스 통제를 통해, 스케일링된 과정의 컴팩트성을 확보한다.
• 문헌 [4]의 정리 7.1을 활용하여, c`adl`ag 함수의 스코로호드 공간(Skorokhod space)에서의 약한 수렴을 도출하며, 보간을 통해 연속 경로로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℤ⁺와 ℤ⁻에서 서로 다른 증분 법칙을 갖는 왜곡된 랜덤 워크가 비대칭 브라운 운동으로 약한 수렴을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ2 극한 비대칭 브라운 운동의 비대칭성 파라미터 α는 기저 증분 분포와 0에서의 전이 확률에 의해 어떻게 결정되는가?
• RQ3 비대칭 브라운 운동에 대한 대칭성 원리(invariance principle)는 대칭 베르누이 단계를 초월하여 일반적인 i.i.d. 증분(유한한 두 번째 모멘트를 갖는)으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 재생 함수는 공간적으로 비균질인 확산 과정의 극한 과정의 비대칭성 특성을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 일반적인 모멘트 조건 하에서, 비마코프성이고 상태에 의존적인 랜덤 워크에 대해 컴팩트성과 유한차원 수렴을 어떻게 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 스케일링된 과정 (Xₙ(t))는 n → ∞일 때 ℝ 위에서 비대칭 브라운 운동 (B^α(t))로 약한 수렴을 보이며, 이는 비균질 랜덤 워크에 대한 기능적 중심극한정리를 수립한다.
• 비대칭성 파라미터 α는 α = [c₁𝔼[h(η₁)𝟏_{η₁>0}]] / [c₁𝔼[h(η₁)𝟏_{η₁>0}] + c′₁𝔼[h′(−η₁)𝟏_{η₁<0}]] 로 주어지며, 여기서 h와 h′는 내림차순 및 오름차순 재생 함수이다.
• 상수 c₁과 c′₁는 각각 ℙ(S(k) ≥ 0)와 ℙ(S′(k) ≤ 0)의 무한곱을 통해 표현되며, 이는 랜덤 워크의 왜곡된 궤적의 비대칭성을 반영한다.
• 수렴은 증분에 대한 비주기성 조건과 유한한 두 번째 모멘트 조건, 그리고 0에서의 점프 분포의 적분 가능성 조건 하에서 성립한다.
• 이전 결과에서 대칭 베르누이 단계로 제한된 조건을 제거하고, 유한한 두 번째 모멘트를 갖는 일반적인 i.i.d. 증분을 다루는 데에 성공하였다.
• 모듈러스의 연속성에 대한 상한과 0에서의 점프 크기를 통한 통제를 통해 컴팩트성이 확보되었으며, 이는 분포 수렴을 보장한다.