[논문 리뷰] Limit Theorems for Marked Hawkes Processes with Application to a Risk Model

Dmytro Karabash, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 16.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 마크를 가진 선형 마킹된 하크스 프로세스에 대해 대규모 변동 원리와 중심극한정리를 수립하며, 마킹된 점과정으로까지 극한정리의 적용을 확장한다. 주요 기여는 정규화된 수세기 과정에 대한 엄밀한 대규모 변동 속도 함수를 제시하는 것으로, 마크가 지수분포를 따를 경우 명시적인 공식을 도출하여 리스크 모델링 및 파산 확률 분석에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper focuses on limit theorems for linear Hawkes processes with random marks. We prove a large deviation principle, which answers the question raised by Bordenave and Torrisi. A central limit theorem is also obtained. We conclude with an example of application in finance.

연구 동기 및 목표

• 비마킹된 하크스 과정에서의 극한정리—특히 대규모 변동과 중심극한정리—를 랜덤 마크를 가진 마킹된 하크스 과정으로 확장하기 위해.
• 보르데나브와 토리시가 제기한 마킹된 하크스 과정에 대한 대규모 변동에 관한 질문을 해결하기 위해.
• 특히 보험 및 금융 분야에서 마킹된 하크스 과정을 적용하기 위한 이론적 기반을 마련하기 위해.
• 마크 분포가 지수분포일 경우 대규모 변동 속도 함수에 대한 명시적인 표현을 도출하기 위해.
• 마킹된 하크스 과정에 의해 구동되는 리스크 모델에서의 파산 확률의 점근적 행동을 분석하기 위해.

제안 방법

• 마크가 분포 $q(da)$를 따르는 i.i.d. 마크 $a_i$를 갖는 점과정으로서 마킹된 하크스 과정을 수식화한다: $\lambda_t = \nu + \sum_{\tau_i < t} h(t - \tau_i, a_i)$.
• 조건 $\int_{\mathbb{X}} H(a) q(da) < 1$ 하에서 정적 버전의 존재성과 유일성을 확보한다. 여기서 $H(a) = \int_0^\infty h(t,a) dt$이다.
• 마르팅글 기법과 함수형 중심극한정리의 논증을 사용하여 $N_t/t$에 대한 중심극한정리를 증명한다.
• 누적모oment 생성함수 $\Gamma(\theta)$를 분석하고 G"{a}rtner-Ellis 정리를 적용하여 $N_t/t$에 대한 대규모 변동 원리를 도출한다.
• 수축 원리와 과정 수준의 대규모 변동 기법을 활용하여 속도 함수 $I(x) = \sup_\theta \{ \theta x - \Gamma(\theta) \}$를 유도한다.
• 결과를 마킹된 하크스 과정에 의해 구동되는 리스크 모델에 적용하여, 무한 및 유한 수명 주기의 파산 확률을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 마킹된 하크스 과정에서 정규화된 수세기 과정 $N_t/t$에 대한 대규모 변동 원리는 무엇인가?
• RQ2 랜덤 마크의 존재는 비마킹된 경우와 비교해 하크스 과정의 중심극한정리에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 마크 분포가 지수분포일 경우 대규모 변동 속도 함수에 대한 명시적인 표현을 유도할 수 있는가?
• RQ4 청약 도착이 마킹된 하크스 과정을 따르는 리스크 모델에서의 점근적 파산 확률은 무엇인가?
• RQ5 순수익 조건과 청약 규모 꼬리 행동은 파산 확률 감소율에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 정규화된 수세기 과정 $N_t/t$에 대해 속도 함수 $I(x) = \sup_\theta \{ \theta x - \Gamma(\theta) \}$를 갖는 대규모 변동 원리가 수립되었으며, 여기서 $\Gamma(\theta)$는 과정의 누적모oment 생성함수로부터 유도된다.
• 마크가 파arameter $\lambda$를 갖는 지수분포를 따를 경우, 속도 함수는 다음의 명시적 형태를 갖는다: $I(x) = x\log\left(\frac{-2x^2 + x\sqrt{4x^2 + \nu^2(\lambda+1)^2}}{\lambda\nu^2}\right) - \nu\left(\frac{1}{2}\{\lambda+1 - \frac{-2x + \sqrt{4x^2 + \nu^2(\lambda+1)^2}}{\nu}\} - 1\right)$ for $x \geq 0$.
• 청약 규모가 파arameter $\gamma$를 갖는 지수분포일 경우, 무한 수명 주기 파산 확률은 $\lim_{u\to\infty} \frac{1}{u}\log\psi(u) = -\theta^\dagger$ 를 만족하며, 여기서 $\theta^\dagger$ 는 $\rho$, $\nu$, $\gamma$, $\lambda$ 를 포함한 이차방정식의 해이다.
• 유한 수명 주기 파산 확률의 점근적 성질은 청약 규모 분포의 尾지수 $\alpha$ 에 따라 유도되며, 정규적으로 변화하는 및 Weibull 꼬리를 갖는 청약에 대해 명시적인 표현이 제공된다.
• 무한 수명 주기 파산 확률은 속도 $\theta^\dagger$ 로 지수적으로 감소하며, 순수익 조건 하에서 $\lim_{u\to\infty} \frac{\psi(u)}{\overline{B}_0(u)} = \frac{\nu\mathbb{E}[C_1]}{\rho(1 - \mathbb{E}^q[H(a)]) - \nu\mathbb{E}[C_1]}$ 이 성립함을 입증하였다.
• 중심극한정리는 $\frac{N_{\cdot t} - \cdot \mu t}{\sqrt{t}} \Rightarrow \sigma B(\cdot)$ 가 $D[0,1]$ 상에서 약한 수렴함을 확인하며, $\mu = \frac{\nu}{1 - \mathbb{E}^q[H(a)]}$ 이고 $\sigma^2 = \frac{\nu}{(1 - \mathbb{E}^q[H(a)])^3}$ 이다.