[논문 리뷰] Limit Theorems For Sequences of Tempered Stable and Related Distributions

Michael Grabchak|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $p$-tempered $\alpha$-stable 분포($TS^{p}_{\alpha}$)의 약한 수렴에 대한 닫힘으로서 확장된 $p$-tempered $\alpha$-stable 분포($ETS^{p}_{\alpha}$)의 클래스를 도입한다. 이 클래스 내에서의 약한 수렴에 대한 필요 및 충분 조건을 규명하고, 임의의 $d$-차원 $ETS^{p}_{\alpha}$ 분포가 기본적인 $p$-tempered $\alpha$-stable 랜덤 벡터의 선형 조합으로 근사될 수 있음을 증명하여 이에 기반한 이산 합을 통한 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we define the closure under weak convergence of the class of p-tempered α-stable distributions. We give necessary and sufficient conditions for convergence of sequences in this class. Moreover, we show that any element in this class can be approximated by the distribution of a linear combination of elementary p-tempered α-stable random variables.

연구 동기 및 목표

• 약한 수렴에 대해 닫혀 있고 $p$-tempered $\alpha$-stable 분포를 포함하는 최소 클래스를 정의하고 특성화하기.
• $TS^{p}_{\alpha}$ 클래스 내의 수열에 대한 약한 수렴에 필요한 필요 및 충분 조건을 규명하기.
• 모든 $d$-차원 $ETS^{p}_{\alpha}$ 분포가 기본적인 $p$-tempered $\alpha$-stable 랜덤 벡터의 유한 선형 조합으로 근사될 수 있음을 보여주기.
• $TS^{p}_{\alpha}$ 클래스를 고려하여 극한에 고전적 정규 성분과 비감소 꼬리 행동을 포함하는 $ETS^{p}_{\alpha}$ 클래스로 확장하기.

제안 방법

• $TS^{p}_{\alpha}$의 약한 수렴에 대한 닫힘으로서 $ETS^{p}_{\alpha}$를 정의하여 정규 성분을 허용하고, 로지ński 조건의 감쇠 조건을 완화하기.
• $\mathbb{R}^d$의 컴actification을 사용하여 레비 측도가 무한대 및 영점에서의 행동을 분석하기.
• $\bar{\mathbb{R}}^d$인 컴actified 공간 위에 측도 $\nu$를 구성하여 $ETS^{p}_{\alpha}$ 분포의 확장된 로지ński 측도를 표현하기.
• 포트마테오 정리와 지배 수렴 정리를 적용하여 근사 수열 $\mu_n$ 이론의 약한 수렴을 $\mu$로 증명하기.
• 레비 트리플렛을 통한 특성 함수의 적분 표현을 사용하여 분포 수렴을 분석하기.
• 모든 $ETS^{p}_{\alpha}$ 분포가 독립적인 기본적인 $p$-tempered $\alpha$-stable 랜덤 벡터들의 합의 약한 극한으로 나타남을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 TS^{p}_{\alpha}$를 포함하고 약한 수렴에 대해 닫혀 있는 최소 분포 클래스는 무엇인가?
• RQ2 TS^{p}_{\alpha}$ 분포의 수열이 약하게 수렴하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 모든 $d$-차원 $ETS^{p}_{\alpha}$ 분포는 기본적인 $p$-tempered $\alpha$-stable 랜덤 변수들의 선형 조합으로 근사될 수 있는가?
• RQ4 모수 $\alpha \in (0,2)$일 때, 확장된 클래스 $ETS^{p}_{\alpha}$는 클래스 $J_{\alpha,p}$와 어떻게 다를까?
• RQ5 로지ński 측도는 $TS^{p}_{\alpha}$ 수열의 약한 극한을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $ETS^{p}_{\alpha}$는 $TS^{p}_{\alpha}$의 약한 수렴에 대한 닫힘이며, $\alpha \in (0,2)$일 때 $J_{\alpha,p}$를 진부분집합으로 포함한다.
• $TS^{p}_{\alpha}$ 수열의 약한 수렴은 컴actified 공간 $\bar{\mathbb{R}}^d$ 상에서의 로지ński 측도 수렴으로 특성화된다.
• 모든 $d$-차원 $ETS^{p}_{\alpha}$ 분포는 독립적인 기본적인 $p$-tempered $\alpha$-stable 랜덤 벡터들의 유한 합의 분포로 근사될 수 있다.
• 확장된 클래스 $ETS^{p}_{\alpha}$는 정규 성분을 포함하고, 로지ński 측도에서 무한대에서의 질량이 사라지지 않는 경우를 허용한다.
• 이 근사 결과는 $ETS^{p}_{\alpha}$ 랜덤 벡터를 i.i.d. 기본적인 $p$-tempered $\alpha$-stable 변수들의 합을 통해 시뮬레이션할 수 있도록 한다.
• $\alpha \leq 0$일 때는 $ETS^{p}_{\alpha}$와 $J_{\alpha,p}$가 일치하지만, $\alpha \in (0,2)$일 때는 $J_{\alpha,p} \subsetneq ETS^{p}_{\alpha}$이다.