[논문 리뷰] Limit Theorems for the Left Random Walk on GLd (R)

Christophe Cuny, Jérôme Dedecker외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 07.

Random Matrices and Applications참고 문헌 16인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $GL_d(\mathbb{R})$ 위의 왼쪽 랜덤 워크에 대한 극한정리들을 수립하며, 제3저자의 박사학위 논문 결과를 확장하여 다항모멘트 조건의 순서 $2+\varepsilon$와 구동측도 $\mu$에 대한 강한 기약성 및 비틀림성 가정 하에 마르친키에비츠-지그문드 강한 대수법칙, 워셔슈타인 거리에서 명시적인 수렴속도를 가진 중심극한정리, 그리고 수렴속도를 갖는 거의확실한 불변성원리들을 증명한다. 주요 기여는 정밀한 마팅게일 근사 기법과 커플링 논증을 통해 수렴속도를 도출한 것으로, 벤로이스와 케이프의 도구를 사용하여 행렬 계수로의 확장과 비틀림성 조건의 약화를 달성한다.

ABSTRACT

Motivated by a recent work of Benoist and Quint and extending results from the PhD thesis of the third author, we obtain limit theorems for products of independent and identically distributed elements of GLd (R), such as the Marcinkiewicz-Zygmund strong law of large numbers, the CLT (with rates in Wasserstein's distances) and almost sure invariance principles with rates.

연구 동기 및 목표

• 다항모멘트 조건 하에 $GL_d(\mathbb{R})$ 내의 i.i.d. 행렬의 곱에 대해 수렴속도를 갖는 거의확실한 불변성원리들을 수립하기.
• 행렬 노름의 로그에 대해 워셔슈타인 거리에서 명시적인 수렴속도를 갖는 중심극한정리를 도출하기.
• 마르친키에비츠-지그문드 강한 대수법칙을 행렬 곱의 로그 노름으로 확장하기.
• 더 강한 모멘트 조건 하에서 행렬 계수 $\log|\langle A_n x, y \rangle|$ 의 游근적 행동을 조사하기.
• 벤로이스와 케이프의 핵심 논증을 활용하여 비틀림성 조건을 약화시키고, 결과를 비틀림성이 없지만 강하게 기약적인 측도로 확장하기.

제안 방법

• 잔의 박사학위 논문에서 유래한 정밀한 마팅게일 근사 방법을 활용하며, 정확한 수렴속도를 확보하기 위해 적응시켰다.
• 로그 노름을 마팅게일과 통제된 적분 가능성 조건을 갖는 잔여항의 합으로 표현하기 위해 코보르더 분해를 적용하였다.
• 프로젝티브 공간 $X = P_{d-1}(\mathbb{R})$ 상의 불변측도 $\nu$를 활용한 커플링 기법을 사용하여 랜덤 워크의 평형에서의 이탈을 제어하였다.
• 공간 $X$ 상의 거리 함수 $\delta$를 사용하여 각도적 분리도를 정량화하고 내적 감쇠와 연관지켜 행렬 계수 행동을 제어할 수 있도록 하였다.
• $\log \delta(\cdot, \bar{y})$ 의 $L^p$ 적분 가능성 조건 하에 Borel-Cantelli 보조정리를 적용하여 $\log \delta(W_n, \bar{y})$ 에 대한 거의확실한 경계를 확립하였다.
• 벤로이스와 케이프의 결과를 활용하여 완전수렴성과 $\log \delta(\cdot, \cdot)$ 의 적분 가능성 조건을 정교화함으로써 주요 정리들을 비틀림성이 없지만 강하게 기약적인 측도로 확장하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 모멘트 조건과 대수적 조건 하에서 행렬 노름의 로그 $\log\|A_n\|$ 이 워셔슈타인 거리에서 명시적인 수렴속도를 갖는 중심극한정리를 만족하는가?
• RQ2 다항모멘트 조건의 순서가 $2+\varepsilon$ 일 때, $\log\|A_n x\|$ 에 대해 수렴속도를 갖는 거의확실한 불변성원리를 수립할 수 있는가?
• RQ3 더 강한 모멘트 조건 하에서 $\log|\langle A_n x, y \rangle|$ 의 점근적 행동은 $\log\|A_n x\|$ 와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 극한정리들이 행렬 노름과 계수에 대해 유지되도록 하기 위해 비틀림성 조건을 얼마나 제거할 수 있는가?
• RQ5 프로젝티브 공간 상의 불변측도 $\nu$ 는 $GL_d(\mathbb{R})$ 위의 랜덤 워크의 수렴속도 제어에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모멘트 조건의 순서가 $2+\varepsilon$ 일 때, $\log\|A_n x\|$ 에 대해 마르친키에비츠-지그문드 강한 대수법칙이 성립하며, 거의확실한 수렴속도는 임의의 $p \in (1,2)$ 에 대해 $o(n^{1/p})$ 이다.
• 모멘트 조건의 순서가 $2+\varepsilon$ 일 때, $\log\|A_n x\|$ 에 대해 워셔슈타인 거리에서 수렴속도 $O(n^{-1/2})$ 를 갖는 중심극한정리가 성립하며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 동일한 모멘트 및 대수적 조건 하에서 $\log\|A_n x\|$ 에 대해 수렴속도 $O(n^{1/2} \log^{1/2} n)$ 를 갖는 거의확실한 불변성원리가 수립된다.
• 모멘트 조건의 순서가 $p+1$ 이고 $1 < p \leq 4$ 일 때, $\log\|A_n\|$ 에 대한 결과는 행렬 계수 $\log|\langle A_n x, y \rangle|$ 로 확장되며, 동일한 수렴속도 $o(n^{1/p})$ 가 거의확실하게 성립한다.
• 강한 기약성 조건이 만족될 경우, 벤로이스와 케이프의 결과를 활용하여 완전수렴성과 $\log \delta(\cdot, \cdot)$ 의 적분 가능성 조건을 적용함으로써 주요 정리들에서 비틀림성 조건을 제거할 수 있다.
• $\log \delta(\cdot, \bar{y})$ 가 $L^p$-적분 가능할 경우, $\log \delta(A_n \bar{x}, \bar{y})$ 의 수렴속도가 거의확실하게 $o(n^{1/p})$ 임을 보였으며, 이는 행렬 계수 점근적 행동 제어에 필요한 조건을 충족함을 의미한다.