[논문 리뷰] Limit theorems for the sample autocovariance of a continuous-time moving average process with long memory

Felix Spangenberg|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 이동 평균 과정에서 장기 기억성을 가진 표본 자기공분산의 渐近 분포를 확립한다. 이는 레비 노이즈의 꼬리 행동과 기억 파라미터 $ d \in (0, \frac{1}{2}) $ 에 따라 로젠블라트 분포 또는 안정 분포로 수렴함을 보여준다. 결과는 이전의 이산시간 연구를 Horváth와 Kokoszka가 확장하여, 장기적 의존성이 무거운 尾 꼬리 또는 분산이 유한한 창발성 노이즈 하에서 표본 자기공분산의 비정규 극한을 유도함을 확인한다.

ABSTRACT

We examine the asymptotic behaviour of the sample autocovariance in a continuous-time moving average model with long-range dependence. We show that it is either asymptotically Rosenblatt distributed or stable distributed. This shows that results by Horváth and Kokoszka for discrete-time moving average processes with long memory also hold for continuous-time moving average processes.

연구 동기 및 목표

• 표본 자기공분산의 渐近 이론을 이산시간에서 연속시간 장기 기억 이동 평균 과정으로 확장하기.
• 기억 파라미터 $ d \in (0, \frac{1}{2}) $ 를 가진 장기적 의존성 하에서 표본 자기공분산의 극한 분포를 규명하기.
• 4차 모멘트가 유한할 경우 극한이 로젠블라트 분포가 되는 조건을 설정하기.
• 정규 분포가 아닌 경우 극한이 안정 분포가 되는 조건을 설정하기.
• 결과가 FICARMA 과정과 분수 레비 노이즈에 적용 가능함을 검증하기.

제안 방법

• 연속시간 이동 평균 과정을 $ X_t = \int_{-\infty}^{\infty} f(t-s) \, dL_s $ 로 모델링하며, 여기서 $ L $ 은 평균이 0인 레비 과정이며 $ f \in L^2(\mathbb{R}) $ 이고 $ f(t) \sim C_d t^{d-1} $ 이다. $ t \to \infty $ 일 때.
• 이토 등식을 사용하여 자기공분산 함수를 $ \gamma(h) = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} f(s)f(s+h) \, ds $ 로 표현하기.
• 표본 자기공분산 $ \hat{\gamma}_N(h) = \frac{1}{N} \int_0^N X_t X_{t+h} \, dt $ 를 다중 웨이너 적분과 U-통계량의 극한 정리로 분석하기.
• 델타 방법을 적용하여 표본 자기상관계수의 渐近 분포와 기억 파라미터 $ d $ 의 추정기의 분포를 유도하기.
• 기억 파라미터 $ d \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ 이고 $ \mathbb{E}[L_1^4] < \infty $ 일 경우, 로젠블라트 과정 $ U_d(1) $ 이 극한 분포로 작용함을 입증하기.
• 정규 분포가 아닌 레비 노이즈가 첨도 지수 $ \alpha \in (2,4) $ 를 가질 경우, $ d < \frac{1}{\alpha} $ 일 때 극한 분포는 안정 분포이며, $ d > \frac{1}{\alpha} $ 일 때는 로젠블라트 분포임을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속시간 장기 기억 이동 평균 과정에서 표본 자기공분산의 渐近 분포는 무엇인가?
• RQ2 레비 노이즈의 꼬리 행동(유한 vs. 정규 분포가 아닌 네오비안 모멘트)에 따라 극한 분포는 어떻게 달라지는가?
• RQ3 장기적 의존성이 있는 이산시간 모델에서와 마찬가지로 연속시간 모델에서도 로젠블라트 분포가 나타나는가?
• RQ4 결과를 FICARMA 과정과 분수 레비 노이즈로 확장할 수 있는가?
• RQ5 장기적 의존성 하에서 표본 자기상관계수와 $ d $-추정기의 渐近 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 기억 파라미터 $ d \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ 이고 $ \mathbb{E}[L_1^4] < \infty $ 일 경우, 표본 자기공분산 $ \hat{\gamma}_N(h) $ 는 $ C_d^2 \sigma^2 $ 로 스케일된 다중 로젠블라트 랜덤 변수 $ U_d(1) $ 로 수렴한다.
• 레비 노이즈가 첨도 지수 $ \alpha \in (2,4) $ 를 가진 정규 분포가 아닌 경우, $ \hat{\gamma}_N(h) $ 의 극한 분포는 $ d < \frac{1}{\alpha} $ 일 때 안정 분포이며, $ d > \frac{1}{\alpha} $ 일 때는 로젠블라트 분포이다.
• 표본 자기상관계수 $ \hat{\rho}_N(h) $ 는 $ d \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ 이고 4차 모멘트가 유한할 경우, $ C_d^2 \sigma^2 U_d(1) \frac{1 - \rho(h)}{\gamma(0)} $ 로 渐近적으로 분포된다.
• 기억 파라미터 $ d $ 의 추정기 $ \hat{d} = \frac{1}{2} \frac{\log(\hat{\rho}_N(1) + 1)}{\log 2} $ 는 $ d \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ 이고 $ \mathbb{E}[L_1^4] < \infty $ 일 경우, 渐近적으로 로젠블라트 분포를 따른다. 이는 이전의 정규성 결과를 확장한다.
• FICARMA 과정은 $ f(t) \sim C_d t^{d-1} $ 를 만족하므로, 이 결과는 연속시간 장기 기억 과정의 이 클래스에 적용 가능하다.
• 결과는 Horváth와 Kokoszka가 이산시간 장기 기억 이동 평균 과정에서 관찰한 비정규 극한 행동이 연속시간 설정에서도 그대로 유지됨을 확인한다.