[논문 리뷰] Limitations of variational quantum algorithms: a quantum optimal transport approach

Giacomo De Palma, Milad Marvian외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 94인용 수 83

한 줄 요약

이 논문은 새로운 양자 최적 운반 프레임워크를 사용하여, QAOA 및 양자 앤날링과 같은 변분 양자 알고리즘의 성능에 대해 노이즈가 있는 조건과 없는 조건에서 엄밀한 지수적 소수 bound를 수립한다. D-정규 그래프에서의 Max-Cut 문제에 대해 QAOA는 고전 알고리즘을 능가하기 위해 깊이 L ≥ (1/2) log(D+1) log n / 576 가 필요하며, 국소적 디폴라라이징 노이즈 p 가 존재할 경우 성능은 깊이 L = O(p⁻¹)에서 지수적으로 악화되어 성공 가능성이 지수적으로 낮아진다. 이 작업은 최적 운반 이론에 기반한 새로운 양자 엔트로피 및 농도 부등식을 도입하여, 변분 알고리즘을 넘어서도 적용 가능한 통합된 도구상자를 제공한다.

ABSTRACT

The impressive progress in quantum hardware in the last years has raised the interest of the quantum computing community in harvesting the computational power of such devices. However, in the absence of error correction, these devices can only reliably implement very shallow circuits or comparatively deeper circuits at the expense of a nontrivial density of errors. In this work, we obtain extremely tight limitation bounds for standard NISQ proposals in both the noisy and noiseless regimes, with or without error-mitigation tools. The bounds limit the performance of both circuit model algorithms, such as QAOA, and also continuous-time algorithms, such as quantum annealing. In the noisy regime with local depolarizing noise $p$, we prove that at depths $L=\mathcal{O}(p^{-1})$ it is exponentially unlikely that the outcome of a noisy quantum circuit outperforms efficient classical algorithms for combinatorial optimization problems like Max-Cut. Although previous results already showed that classical algorithms outperform noisy quantum circuits at constant depth, these results only held for the expectation value of the output. Our results are based on newly developed quantum entropic and concentration inequalities, which constitute a homogeneous toolkit of theoretical methods from the quantum theory of optimal mass transport whose potential usefulness goes beyond the study of variational quantum algorithms.

연구 동기 및 목표

• 변분 양자 알고리즘의 노이즈 없는 및 노이즈 있는 환경에서의 성능에 대해 엄밀하고 날카로운 제약 조건을 수립하는 것.
• 얕고 노이즈가 있는 양자 회로 분석을 위한 새로운 이론적 도구상자(양자 최적 운반 기반)를 개발하는 것.
• 실제 노이즈 및 깊이 제약 조건 하에서 오차 보정 프로토콜이 성능 악화를 뒤집지 못함을 보여주는 것.
• 고전 알고리즘이 기대값뿐 아니라 지수적으로 작은 확률로 더 좋은 결과를 얻을 수 없음을 증명하는 것.

제안 방법

• 양자 최적 운반 이론에서 유도된 (2, ∞)-Poincaré 부등식을 활용하여 새로운 양자 엔트로피 및 농도 부등식을 유도한다.
• Milman의 최적 운반 부등식을 적용하여 양자 회로의 출력 상태가 해밍 공간 {0,1}^n 상에서 측도의 농도를 분석한다.
• 국소적 1 큐비트 디폴라라이징 노이즈를 포함한 노이즈 회로를 모델링하고, 높은 에너지 결과를 관측할 확률에 대한 경계를 유도한다.
• 확장 기반 접근을 통해 유니터리 진화 하에서 관측값의 리프시츠 상수를 제어하고, Poincaré 부등식을 통한 분산 경계를 가능하게 한다.
• 가상의 정련 및 기대값 추정과 같은 오차 보정 프로토콜을 분석하여, 일정 깊이 또는 로그 깊이에서 실패함을 보여준다.
• 워샤프스타인 거리 공식화에서 유도된 이중성 및 트레이스 노름 추정을 활용하여 연속 시간 진화 하에서 양자 상태의 수축을 경계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 D-정규 그래프에서 Max-Cut 문제에 대해 QAOA가 고전 알고리즘을 능가하기 위해 필요한 최소 회로 깊이는 얼마인가?
• RQ2 국소적 디폴라라이징 노이즈가 변분 알고리즘에서 양자 우월성을 관측할 확률에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 오차 보정 기법은 얕고 노이즈가 있는 양자 회로에서 성능 악화를 뒤집을 수 있는가?
• RQ4 양자 최적 운반 도구는 기존의 양자 회로 출력 분포에 대한 경계를 얼마나 통합하고 정교화하는가?
• RQ5 유한 깊이에서 노이즈가 있는 양자 회로의 출력 측도의 농도 프로파일은 어떠한가?

주요 결과

• D-정규 그래프에서의 Max-Cut 문제에 대해 QAOA는 고전 알고리즘을 능가하기 위해 깊이 L ≥ (1/2) log(D+1) log n / 576 가 필요하며, 이는 이전 결과 대비 D에 대해 지수적 향상이다.
• 국소적 디폴라라이징 노이즈 p 가 존재할 경우 깊이 L = O(p⁻¹)에서 노이즈가 있는 양자 회로가 고전 알고리즘을 능가할 확률은 큐비트 수에 대해 지수적으로 작아진다.
• 오차 보정 조차도 일정 깊이에서 가상 정련 프로토콜의 성공 확률은 지수적으로 작고, 기대값 추정은 O(log n) 깊이에서 실패한다.
• 이 논문은 오차 보정 하에서 m개의 노이즈가 있는 양자 회로 복제본이 m = poly(n)일 때, m개의 단순한 제품 상태 복제본보다 유의미한 이점이 없음을 증명한다.
• 유도된 양자 최적 운반 도구상자는 기존의 양자 회로에서의 농도 및 분산에 대한 결과들을 통합하고 강화하는 균일한 프레임워크를 제공한다.