[논문 리뷰] Limiting behavior of large correlated Wishart matrices with chaotic entries

Solesne Bourguin, Charles-Philippe Diez외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 05.

Random Matrices and Applications참고 문헌 17인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 몽테카를로 미분법과 스텐의 방법을 사용하여 비정규, 혼란스러운 항목을 가진 대규모 상관관계가 있는 위샤르트 행렬의 점근적 분포를 조사한다. i.i.d. 항목이 임의의 위erner 혼돈에서 유래할 경우 그 수렴은 가우시안 직교군합(GOE)으로 수렴하며, 장거리 의존성이 있는 두 번째 차수의 혼돈 항목은 비정규 대각 행렬로 수렴한다. 두 경우 모두 수렴 속도에 대한 명시적인 워샤르슈타인 거리 추정치를 도출한다.

ABSTRACT

We study the fluctuations, as $d,n\ o \\infty$, of the Wishart matrix $\\mathcal{W}_{n,d}= \\frac{1}{d} \\mathcal{X}_{n,d} \\mathcal{X}_{n,d}^{T} $ associated to a $n\ imes d$ random matrix $\\mathcal{X}_{n,d}$ with non-Gaussian entries. We analyze the limiting behavior in distribution of $\\mathcal{W}_{n,d}$ in two situations: when the entries of $\\mathcal{X}_{n,d}$ are independent elements of a Wiener chaos of arbitrary order and when the entries are partially correlated and belong to the second Wiener chaos. In the first case, we show that the (suitably normalized) Wishart matrix converges in distribution to a Gaussian matrix while in the correlated case, we obtain its convergence in law to a diagonal non-Gaussian matrix. In both cases, we derive the rate of convergence in the Wasserstein distance via Malliavin calculus and analysis on Wiener space.

연구 동기 및 목표

• 고전적 랜덤 매트릭스 이론을 유한 차수의 임의의 위너 혼돈에서 유래한 비정규, 고차원 위샤르트 행렬로 확장한다.
• 입력 항목이 의존적이며 장거리 의존성이 있는 두 번째 위너 혼돈에 속할 경우 위샤르트 행렬의 점근적 행동을 분석한다.
• 정규화된 위샤르트 행렬이 그 점근적 분포로 수렴하는 속도를 워샤르슈타인 거리 기준으로 명시적으로 유도한다.
• 기존의 중심극한정리 결과를 i.i.d. 정규 또는 로그-볼록성 있는 항목을 넘어서 혼돈 구조와 장거리 의존성을 통합하여 일반화한다.
• 몽테카를로 미분법과 스텐의 방법을 활용하여 비정규 및 의존적인 위샤르트 행렬의 수렴성과 속도 추정치를 확립한다.

제안 방법

• 비정규 매트릭스 항목을 모델링하기 위해 다중 스토케스적 적분과 다중 위너-아이토 혼돈 전개를 사용한다.
• 위너 공간에서 몽테카를로 미분법을 적용하여 정규 근사에 대한 스텐의 방법의 추정치를 계산한다.
• 정규화된 위샤르트 행렬이 그 극한으로 수렴하는 속도를 측정하기 위해 워샤르슈타인 거리를 사용한다.
• 두 가지 영역을 분석한다: 임의의 위너 혼돈에서 유래한 i.i.d. 항목(수렴: GOE)과 두 번째 혼돈에서 유래한 상관관계가 있는 항목(수렴: 비정규 대각 행렬).
• 장거리 의존성에 대한 분수 Brown 운동과 로젠블라트 과정 표현을 사용하여 명시적인 추정치를 도출한다.
• 헤르미트 모멘트와 공분산 구조의 渐近 분석을 통합하여 $ n $ 과 $ d $ 기반의 수렴 속도를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차수의 임의의 위너 혼돈에서 유래한 i.i.d. 항목을 가진 대규모 위샤르트 행렬의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ2 입력 항목이 상관관계가 있고 장거리 의존성이 있는 두 번째 위너 혼돈에 속할 경우 점근적 행동은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 고차원 영역에서 정규화된 위샤르트 행렬이 그 점근적 분포로 수렴하는 속도는 워샤르슈타인 거리 기준으로 어떻게 되는가?
• RQ4 몽테카를로 미분법과 스텐의 방법은 비정규적, 의존적인 위샤르트 행렬의 수렴 속도를 효과적으로 유도하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 장거리 의존성 항목의 경우 허스트 매개수 $ H $ 는 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 유한 차수의 임의의 위너 혼돈에서 유래한 i.i.d. 항목을 가진 경우, 정규화된 위샤르트 행렬은 법적으로 가우시안 직교군합(GOE)으로 수렴한다.
• 장거리 의존성이 있는 두 번째 위너 혼돈에 속한 항목의 경우, 점근적 행렬은 대각행렬이며 비정규적이다. 이는 허스트 매개수 $ H \in (1/2, 1) $ 를 가진 로젠블라트 과정으로 특징지어진다.
• 워샤르슈타인 거리에서의 수렴 속도는 $ H \in (1/2, 3/4) $ 에서 $ C n d^{1/2 - H} $ 이하, $ H = 3/4 $ 에서 $ C n \sqrt{\log d} \, d^{-1/4} $ 이하, $ H \in (3/4, 1) $ 에서 $ C n d^{H - 1} $ 이하로 유 bounds 된다.
• 수렴 속도는 $ H \to 1 $ 에서 악화되며, 이는 항목 간의 더 강한 의존성에 기인한다.
• 강한 상관관계가 존재할 경우 점근적 분포가 비정규적임을 확인하였으며, 이는 i.i.d. 경우의 정규적 극한과 대조된다.
• 몽테카를로 미분법의 사용은 비정규적 및 의존적인 설정에서도 워샤르슈타인 거리 추정치를 정밀하게 계산할 수 있도록 한다.