[논문 리뷰] Limiting distribution and error terms for the number of visits to balls in non-uniformly hyperbolic dynamical systems

Nicolai Haydn, K Wasilewska|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다항식적으로 감쇠하는 상관관계를 가지는 비균일 초구형 동역계 시스템—예를 들어 영 타워 구성이 가능한 시스템—에서, 작아지는 측정 공역의 구역에 대한 방문 횟수의 수가 반지름이 작아질수록 포아송 분포로 수렴함을 확립한다. 수렴 속도는 |log ρ|의 음수 거듭제곱으로 유계이며, 오차 항은 작고 예외적인 집합 외부에서는 일관되게 제어된다.

ABSTRACT

We show that for systems that allow a Young tower construction with polynomially decaying correlations the return times to metric balls are in the limit Poisson distributed. We also provide error terms which are powers of logarithm of the radius. In order to get those uniform rates of convergence the balls centres have to avoid a set whose size is estimated to be of similar order. This result can be applied to non-uniformly hyperbolic maps and to any invariant measure that satisfies a weak regularity condition. In particular it shows that the return times to balls is Poissonian for SRB measures on attractors.

연구 동기 및 목표

• 비균일 초구형 동역계에서 작은 측정 공역에 대한 방문 횟수의 극한 포아송 분포를 확립하기 위해.
• 포아송 분포로의 수렴 속도를 정량화하고, 공역 반지름의 로그에 따라 명시적인 오차 한계를 제공하기 위해.
• 매우 짧은 복귀 시간 또는 기하학적 비정상성으로 인해 발생하는 중심들로 구성된 예외 집합의 크기를 특정하고 제어하기 위해.
• 균일 초구형 또는 지수적으로 혼합되는 시스템을 넘어서 다항식 상관관계 감쇠를 가지는 시스템으로 포아송 근사 결과를 확장하기 위해.
• 영 타워 구성으로 생성된 SRB 측정 및 기타 불변 측정에 대해 결과를 적용하기 위해.

제안 방법

• 비균일 초구형 시스템의 다항식 상관관계 감쇠를 모델링하기 위해 영 타워 구성 기법을 사용한다.
• 방문 횟수를 세기 위해 종속적인 베르누이 과정에 대한 채인-스타인 방법을 적용한다.
• 매우 짧은 복귀 시간 또는 기하학적 비정상성을 가진 점들을 제외하기 위해 금지된 중심 집합(Xρ, Vρ, 및 Erho)을 도입한다.
• 모멘트 한계와 혼합 추정치를 사용하여 방문 수 계산 과정의 의존성 구조를 제어한다.
• 포아송 근사 정리(정리 7.1)를 통해 오차 한계를 유도하며, 방문 횟수와 포아송 법 사이의 총 변동 거리와 상관관계 감쇠 및 의존성 매개변수 간의 관계를 규명한다.
• 기하학적 및 확률적 추론을 사용하여 예외 집합의 측도를 추정하며, 이들이 |log ρ|의 거듭제곱으로 감쇠함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일 초구형 시스템에서 수축하는 측정 공역에 대한 방문 횟수는 반지름이 0으로 수렴함에 따라 포아송 분포로 수렴하는가?
• RQ2 포아송 극한으로의 수렴 속도는 무엇이며, 모든 공역 중심에 대해 균일하게 유계로 유지될 수 있는가?
• RQ3 포아송 근사가 실패하는 중심들의 집합은 얼마나 큰가? 그 측도는 정량적으로 제어할 수 있는가?
• RQ4 결과는 SRB 측정 이외의 불변 측정으로도 확장될 수 있는가? 유일한 조건은 정규성 조건을 만족하는가?
• RQ5 매우 짧은 복귀 시간은 포아송 극한을 방해하는 데 어떤 역할을 하는가? 분석에서 이를 어떻게 배제할 수 있는가?

주요 결과

• ρ → 0 일 때, 반지름 ρ인 측정 공역에 대한 방문 횟수는 작고 예외적인 집합 외부에서는 균일하게 포아송( t ) 분포로 수렴한다.
• 포아송 근사의 오차는 C |log ρ|^{-κ} 이하로 유계이며, λ > 9 이면 κ < (λ - 7)/4 를 만족한다.
• 매우 짧은 복귀 시간을 가지는 중심 집합(Vρ)의 측도는 O(|log ρ|^{-κ′}) 이하로 유계이며, κ′ < (λ - 4)/2 를 만족한다.
• λ > 9 라는 가정 하에 예외 집합 Xρ ∪ Vρ ∪ Erho 의 측도는 O(|log ρ|^{-(λ-9)/4}) 이다.
• 결과는 불변 측정이 영 타워 구성과 다항식 감쇠를 만족하는 경우, 근집에 있는 SRB 측정 및 기타 불변 측정에 적용 가능하다.
• 수렴 속도는 지수적으로 혼합되는 경우보다 느리며, 이는 시스템 내 상관관계 감쇠 속도가 느리기 때문이다.