[논문 리뷰] Limiting distributions and large deviations for random walks in random environments

Jonathon Peterson|ArXiv.org|2008. 10. 01.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 9인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 i.i.d. 랜덤 환경에서의 일차원 랜덤 워크에 대해 고정된 및 평균화된 법칙의 점근적 분포와 대 deviations 원리를 수립한다. 고정된 기능 중심 극한 정리, 영속 속도 영역에서의 안정적 극한 행동을 규명하고, 1차원에서 평균화된 속도 함수와 펜첼-레지오르 변환의 동치성을 증명한다.

ABSTRACT

This thesis concerns the study of random walks in random environments (RWRE). Since there are two levels of randomness for random walks in random environments, there are two different distributions for the random walk that can be studied. The quenched distribution is the law of the random walk conditioned on a given environment. The annealed distribution is the quenched law averaged over all environments. The main results of the thesis fall into two categories: quenched limiting distributions for one-dimensional, transient RWRE and annealed large deviations for multidimensional RWRE. The analysis of the quenched distributions for transient, one-dimensional RWRE falls into two separate cases. First, when an annealed central limit theorem holds, we prove that a quenched central limit theorem also holds but with a random (depending on the environment) centering. In contrast, when the annealed limit distribution is not Gaussian, we prove that there is no quenched limiting distribution for the RWRE. Moreover, we show that for almost every environment, there exist two random (depending on the environment) sequences of times, along which random walk has different quenched limiting distributions. While an annealed large deviation principle for multidimensional RWRE was known previously, very little qualitative information was available about the annealed large deviation rate function. We prove that if the law on environments is non-nestling, then the annealed large deviation rate function is analytic in a neighborhood of its unique zero (which is the limiting velocity of the RWRE).

연구 동기 및 목표

• 일차원 랜덤 환경에서의 이동성 랜덤 워크의 고정된 점근적 분포를 규명하는 것.
• 도달 시간과 워크 자체에 대한 고정된 기능 중심 극한 정리를 수립하는 것.
• 영속 속도 영역을 분석하여 안정적 극한 행동과 국소화되지 않은 부분 수열 효과를 규명하는 것.
• 평균화된 법칙에 대한 대 deviations 원리를 유도하고, 1차원에서 평균화된 속도 함수와 펜첼-레지오르 변환의 동치성을 증명하는 것.
• 다양한 영역에서 도달 시간의 분산과 꼬리 확률의 점근적 행동을 조사하는 것.

제안 방법

• 랜덤 환경 하에서 경로 행동을 분석하기 위해 고정된 및 평균화된 확률 측도를 사용한다.
• 시간 변화 기법을 적용하여 도달 시간 극한과 워크 경로 극한을 연결한다.
• 도달 시간 분포 및 환경에 의존하는 기대값에 대한 기술적 추정을 활용한다.
• 대 deviations 이론을 적용하여 평균화된 속도 함수의 상한 및 하한을 유도한다.
• 커플링 추론과 경로 분해를 사용하여 첫 번째 통과 시간을 포함한 확률을 근사한다.
• 펜첼-레지오르 변환의 해석적 성질과 극한 추론을 활용하여 속도 함수의 동치성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동성, 일차원 랜덤 환경에서의 랜덤 워크의 고정된 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ2 영속 속도 영역에서 고정된 측도와 평균화된 측도 간의 극한 법칙은 어떻게 다를까?
• RQ3 영속 속도 영역 및 구배 영역에서 도달 시간의 고정된 분산의 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ4 언제 평균화된 속도 함수가 누적 생성 함수의 펜첼-레지오르 변환과 동일한가?
• RQ5 고정된 극한에서 국소화되지 않은 행동의 성격은 무엇이며, 부분 수열을 따라 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 환경의 모멘트 조건 $ s > 2 $ 를 만족할 경우, 이동성, 일차원 환경에서의 랜덤 워크에 대해 고정된 기능 중심 극한 정리가 성립한다.
• 영속 속도 영역에서 기대 도달 시간은 안정적 행동을 보이며, 국소화되지 않은 환경 부분 수열은 무거운 꼬리 점근적 행동을 유도한다.
• 도달 시간 $ T_\nu $ 의 고정된 분산은 $ s < 2 $ 에 대해 $ \mathbb{E}_\omega T_\nu \sim \nu^s $ 를 만족하여, 비정상 확산을 나타낸다.
• 구배 영역에서 부분 수열을 따라 $ T_\nu $ 의 고정된 극한은 지수 꼬리 행동을 보이며, 속도 함수는 펜첼-레지오르 변환과 일치한다.
• 1차원에서 평균화된 속도 함수 $ \bar{J}(v) $ 는 펜첼-레지오르 변환 $ H(v) $ 와 동일하며, 대 deviations 이론에서 핵심 항등식을 확립한다.
• 등식 $ \bar{J}(0) = H(0) $ 의 증명은 첫 번째 통과 시간과 환경에 의존하는 생존 확률을 포함하는 이重한 극한 추론에 기반하며, 속도 함수의 영점에서의 연속성을 확인한다.