[논문 리뷰] Limiting distributions for the maximal displacement of branching Brownian motions

Yasuhito Nishimori, Yuichi Shiozawa|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 07.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 비균일한 분열을 갖는 d차원 유클리드 공간에서의 분열 브라운 운동의 최대 이동 거리의 점근적 분포와 정확한 꼬리 점근적 해를 규명한다. 선형 성장률이 슈뢰딩거 유형의 연산자에 대한 주 특성값 λ에 의해 결정되며, 두 번째 항은 시간에 대해 로그적임을 보이고, 꼬리 확률은 지수적으로 감소하며 거듭제곱 법칙 계수를 가진다. 극단적 입자의 이동 거리 조건부 분포는 한계 마팅게일에 의해 이동된 고레르 분포로 수렴한다.

ABSTRACT

We determine the long time behavior and the exact order of the tail probability for the maximal displacement of a branching Brownian motion in Euclidean space in terms of the principal eigenvalue of the associated Schrödinger type operator. To establish our results, we show a sharp and locally uniform growth order of the Feynman-Kac semigroup.

연구 동기 및 목표

• 공간적으로 비균일한 분열을 갖는 분열 브라운 운동에서 최대 이동 거리의 꼬리 확률에 대한 정확한 점근적 행동을 규명하는 것.
• 최대 이동 거리의 성장에서 두 번째 항을 특성화하여, 이가 로그적이고 차원에 의존함을 보이는 것.
• 특히 임계 및 초임계 영역에서, 전초를 벗어난 인구의 조건부 점근적 분포를 확립하는 것.
• 상태에 의존하는 분열과 컴팩트하게 지지된 생식을 갖는 모델로 이전의 선형 성장 및 꼬리 감쇠 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 분석은 슈뢰딩거 연산자 H^ν = -Δ/2 - ν와 관련된 페인만-하스의 반군에 대한 정밀한 추정에 기반한다. 여기서 ν는 분열 강도 측도이다.
• 저자들은 H^ν의 주 특성값 λ < 0을 사용하여 최대 이동 거리의 선형 성장률 √(-λ/2) t를 결정한다.
• 라플라스 방법과 적분에서의 변수 변경을 사용하여 |x| > δt 영역 내의 기대 인구를 분석함으로써, 꼬리 확률 P(L_t > δt)에 대한 정밀한 점근 전개를 유도한다.
• 이동 과정 Y_t의 점근적 분포가 마팅게일 수렴과 조건부 확률 기법을 통해 유도된 한계 마팅게일에 의해 이동된 고레르 분포로 수렴함을 보인다.
• 증명은 Kato 클래스 조건과 후손 분포의 모멘트 추정을 사용하여 전초를 벗어난 기대 인구에 대한 상한과 하한을 포함한다.
• 녹색 함수와 고유함수 행동에 대한 추정을 통해 공간에서의 균일 수렴을 확립하여 성장 순서의 국소 균일성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간적으로 비균일한 분열을 갖는 분열 브라운 운동에서 최대 이동 거리 L_t는 시간에 따라 어떻게 성장하는가?
• RQ2 t → ∞ 일 때, 꼬리 확률 P(L_t > δt)의 정확한 점근적 행동은 무엇이며, 특히 초임계 및 임계 영역에서 어떻게 되는가?
• RQ3 중앙화된 최대 이동 거리 Y_t = L_t - √(-λ/2)t - (d-1)/(2√(-2λ)) log t의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ4 최대 이동 거리가 특정 임계값을 초과할 조건 하에서, 전초를 벗어난 인구는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 최대 이동 거리 L_t는 슈뢰딩거 연산자 H^ν = -Δ/2 - ν의 주 특성값 λ < 0에 의해 결정되는 √(-λ/2) t의 선형적으로 성장한다.
• L_t의 두 번째 항은 (d-1)/(2√(-2λ)) log t이며, λ = -2일 때는 균일한 경우에 알려진 형태와 일치한다.
• δ ∈ (√(-λ/2), √(-2λ)) 이면, t → ∞ 일 때 꼬리 확률은 P(L_t > δt) ∼ C₁ e^{(-λ - √(-2λ)δ)t} t^{(d-1)/2} 를 만족하며, 명시적인 C₁ > 0 이다.
• δ = √(-λ/2) 이고, 임의의 γ ≥ d-1 이면, P(L_t > √(-λ/2)t + γ/(2√(-2λ)) log t + b(t)) ∼ C₂ e^{-√(-2λ) b(t)} t^{(d-1-γ)/2} 이며, 여기서 b(t) → ∞ 이고 b(t) = o(log t) 이다.
• 비멸망 조건 하에서 Y_t의 조건부 분포는 정규 성장 사건 하에서 한계 마팅게일에 의해 이동된 고레르 분포로 약하게 수렴한다.
• L_t > R(t) 조건 하에서 전초를 벗어난 입자의 조건부 수는 비퇴화한 극한으로 수렴하며, 적어도 한 개의 그러한 입자가 존재할 확률은 기대값과 점점 유사해진다.