[논문 리뷰] Limiting laws associated with Brownian motion perturbed by its maximum, minmum and local time II

Bernard Roynette, Pierre Vallois외 1명|ArXiv.org|2005. 10. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 최대값, 최소값, 국소시간 또는 내림 교차 수에 의해 흐트러진 브라운 운동에 대한 페널티 원리를 수립하며, 시간에 따라 변형된 측도의 약한 수렴을 증명하고, 한계 법칙으로 수렴한다. 양의 Borel 함수 $ f $ 에 대해 적절한 조건 하에서 $ f(X_t, A_t) $ 의 정규화된 기대값은 브라운 운동의 경로 분해를 설명하는 마팅게일 기반 측도 $ Q_0^f $ 로 수렴한다. 여기서 $ g $ 는 $ A_t $ 가 최대값을 달성하는 마지막 시간이다.

ABSTRACT

We obtain probability measures on the canonical space penalizing the Wiener measure by a function of its maximum (resp. minimum, local time). We study the law of the canonical process under these new probability measures.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동이 최대값, 최소값, 국소시간 또는 내림 교차 수에 의해 흐트러질 경우 페널티 이론을 확장하기 위해.
• 시간에 따라 변형된 확률 측도 $ Q_{0,t}^F $ 가 $ t \to \infty $ 일 때 한계 측도 $ Q_0^f $ 로의 약한 수렴을 확립하기 위해.
• 특히 $ g = \sup\{s > 0 : A_s = A_\infty\} $ 에서의 경로 분해를 통해 $ Q_0^f $ 에서의 브라운 운동의 법칙을 기술하기 위해.
• 특히 영점에서의 국소시간을 포함하는 경우에 대해, 한계 확산에서의 명시적 표현을 유도하기 위해, 불변 밀도를 유도하기 위해.

제안 방법

• 반세대 이론(정리 1.1)의 사용으로, 반세대 $ \Lambda_t $ 와 $ C(s,y) $ 의 적분 가능성 조건 하에서 $ Q_{x_0,t}^F $ 가 $ Q_{x_0}^M $ 으로 수렴함을 보장한다.
• 제한 $ \lim_{t\to\infty} \Lambda_{t-s}(f)(y)/\Lambda_t(f)(y_0) $ 를 통한 $ P_0 $-마팅게일 $ M_s^f $ 의 구성으로, 거의 확실하게 $ M_0^f = 1 $ 이 되도록 보장한다.
• 브라운 운동 경로를 두 부분으로 분해: $ (X_t)_{0 \leq t \leq g} $ 와 $ (X_{t+g})_{t \geq 0} $ 로, $ Q_0^f $ 에서 $ A_\infty $ 가 주어진 조건부로 법칙을 기술한다.
• 과정의 생성자로부터 유도된 경계 조건을 가진 2차 상미분방정식을 풀어, 한계 확산의 불변 밀도 $ g(x) $ 를 유도한다.
• Feynman-Kac 공식과 지수 기울임을 적용하여 $ e^{cL_t^0} $ 를 포함하는 기대값을 계산하고, $ \lim_{t\to\infty} E_0[e^{cL_t^0}1_{\{t \leq T_a \wedge T_{-b}\}}] $ 의 정확한 점근적 행동을 도출한다.
• Walsh의 브라운 운동( $ n $ 개의 반직선)으로 일반화하여, 국소시간을 포함하는 모멘트 수렴의 임계 임계값 $ c = \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{a_i} $ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 $ f(X_t, A_t) $ 를 통해 정의된 측도 $ Q_{0,t}^F $ 가 $ t \to \infty $ 일 때 어떤 조건에서 약한 수렴을 보이는가?
• RQ2 특히 $ g $ 에서의 경로 분해를 통해, 한계 측도 $ Q_0^f $ 에서의 브라운 운동의 법칙은 무엇인가?
• RQ3 한계 확산의 불변 밀도는 함수 $ f $ 와 과정 $ A_t $ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 $ t \to \infty $ 일 때 $ E_0[e^{cL_t^0}1_{\{t \leq T_a \wedge T_{-b}\}}] $ 의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ5 페널티 프레임워크는 Walsh의 브라운 운동으로 확장될 수 있으며, 수렴을 위한 지수 매개변수의 임계값은 무엇인가?

주요 결과

• 집합 $ \{(S_t), (S_t,t), (L_t^0), (S_t,I_t,L_t^0), (D_t)\} $ 의 첫 번째, 세 번째, 다섯 번째 원소들에 대해 $ Q_0^f(A_\infty < \infty) = 1 $ 이고, $ Q_0^f(0 < g < \infty) = 1 $ 이다. 여기서 $ g = \sup\{s > 0 : A_s = A_\infty\} $ 이다.
• $ Q_0^f $ 에서 $ (X_t)_{0 \leq t \leq g} $ 의 법칙은 $ A_\infty $ 가 주어진 조건부로 특정 생성자를 가진 시간에 따라 변형된 확산이다.
• $ Q_0^f $ 에서 $ (X_{t+g})_{t \geq 0} $ 의 법칙은 $ A_\infty $ 가 주어진 조건부로 불변 밀도 $ g(x) = \frac{3}{(a+b)a^2b^2} \left[ b^2(a-x)^2 \mathbf{1}_{\{0<x<a\}} + a^2(b+x)^2 \mathbf{1}_{\{-b<x<0\}} \right] $ 를 가진다.
• $ \lim_{t\to\infty} E_0[e^{cL_t^0}1_{\{t \leq T_a \wedge T_{-b}\}}] = \frac{3}{2} $ 이며, $ c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ 이다. 이 값은 임계점에서만 유한하다.
• $ \alpha > c $ 이면 극한은 $ \infty $ 이고, $ \alpha < c $ 이면 $ 0 $ 이며, 이는 $ \alpha = c $ 에서 날카로운 단계 전이를 보임을 보여준다.
• $ n $ 개의 반직선과 파라미터 $ (p_i) $ 를 가진 Walsh의 브라운 운동에 대해, $ E[e^{\alpha L_t^0} \prod_{i=1}^n 1_{\{S_t^i \leq a_i\}}] $ 의 극한은 $ \alpha < c $ 이면 $ 0 $, $ \alpha = c $ 이면 $ \frac{3}{2} $, $ \alpha > c $ 이면 $ \infty $ 이며, $ c = \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{a_i} $ 이다.