[논문 리뷰] Limits of Moishezon Manifolds under Holomorphic Deformations

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 18.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 복소수 매니폴드의 힐베르트 가속도에서 중심 섬유가 다른 모든 섬유들이 Moishezon이면 중심 섬유도 Moishezon임을 증명한다. 중심 섬유에 존재하는 강력한 Gauduchon 계량을 사용하며, 이 계량의 존재는 일반 섬유에서의 $\partial\bar{\partial}$-레마에 의해 보장된다. 이를 통해 상대 Barlet 공간의 분리 성분들이 기저에 대해 올바르게 정의됨을 보이고, 중심 섬유가 최대 대수적 차원을 가지며 따라서 Moishezon임을 보장한다.

ABSTRACT

Given a (smooth) complex analytic family of compact complex manifolds, we prove that the central fibre must be Moishezon if the other fibres are Moishezon. Using a "strongly Gauduchon metric" on the central fibre whose existence was proved in our previous work on limits of projective manifolds, we show that the irreducible components of the relative Barlet space of divisors contained in the fibres are proper over the base even under the weaker assumption that the $\partial\bar\partial$-lemma hold on all the fibres except, possibly, the central one. This implies that the algebraic dimension of the central fibre cannot be lower than that of the generic fibre. Since the latter is already maximal thanks to the Moishezon assumption, the central fibre must be of maximal algebraic dimension, hence Moishezon.

연구 동기 및 목표

• 복소수 매니폴드의 힐베르트 가속도에서 Moishezon 성질의 불변성을 확립하기 위해.
• 이전 결과에서 프로젝티브 섬유를 요구했던 것을 더 넓은 Moishezon 섬유의 범주로 일반화하기 위해.
• 이러한 가속도에서 중심 섬유의 대수적 차원이 일반 섬유의 대수적 차원 이하로 떨어지지 않음을 보여주기 위해.
• $\partial\bar{\partial}$-레마 가정 하에 상대 Barlet 공간의 분리 성분의 올바름을 증명하기 위해.
• 중심 섬유에 강력한 Gauduchon 계량이 존재하는 것이 소규모 변형에서 유지됨을 보여주며, 이는 분할의 체적에 균일한 경계를 제공한다.

제안 방법

• 모든 $X_t$에 대해 $C^{\infty}$-가속도로 강력한 Gauduchon 계량 $(\gamma_t)_{t \in \Delta}$를 구성하기 위해, $X_0$에서의 계량 존재성과 $t \neq 0$에서의 $\partial\bar{\partial}$-레마를 사용한다.
• $t \neq 0$에서의 $\partial\bar{\partial}$-레마를 사용하여 $\bar{\partial}_t$-포텐셜 $\zeta_t^{n,n-2}$를 확보하여 $\partial_t \gamma_t^{n-1} = \bar{\partial}_t \zeta_t^{n,n-2}$를 확보하고, 이로 인해 $t$에 대해 매끄럽게 의존함을 보장한다.
• 스토크스 정리를 적용하여 $\int_X \beta_t^{0,1} \wedge \partial_t \gamma_t^{n-1}$ 형식의 적분을 $\int_X \alpha_t^{0,2} \wedge \zeta_t^{n,n-2}$로 연결하고, 분할의 체적이 균일하게 유계임을 보인다.
• Remmert의 올바른 사상 정리를 활용하여 상대 Barlet 공간 $\mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{X}/\Delta)$의 분리 성분들의 영상이 $\Delta$의 해석적 부분집합임을 유추한다.
• 중심 섬유에 접근하는 수평 가속도에서 분할의 체적에 대한 균일한 유계성 증명을 통해 상대 Barlet 공간의 분리 성분들이 $\Delta$에 대해 올바름을 증명한다.
• 중심 섬유 $X_0$가 충분한 수의 분할을 일반 섬유들로부터 물려받고 최대 대수적 차원을 가지므로 Moishezon임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 매니폴드의 힐베르트 가속도에서 Moishezon 성질이 유지되는가?
• RQ2 중심 섬유에서의 $\partial\bar{\partial}$-레마 가정보다 더 약한 조건 하에서 상대 Barlet 공간의 분리 성분의 올바름을 확립할 수 있는가?
• RQ3 중심 섬유에 강력한 Gauduchon 계량이 존재하는 것이 소규모 복소수 가속도에서 안정적인가?
• RQ4 모든 섬유에서 중심 섬유를 제외한 $\partial\bar{\partial}$-레마 가정 하에서 중심 섬유의 대수적 차원이 일반 섬유의 대수적 차원 이상임을 보일 수 있는가?
• RQ5 $\partial\bar{\partial}$-레마는 복소수 매니폴드의 힐베르트 가속도에서 분할 가속도의 기하학을 어떻게 제어하는가?

주요 결과

• 모든 다른 섬유 $X_t$ ($t \in \Delta^\star$)가 Moishezon이면, 힐베르트 가속도 $\pi: \mathcal{X} \to \Delta$의 중심 섬유 $X_0$는 Moishezon이다.
• $\partial\bar{\partial}$-레마가 $t \neq 0$인 모든 섬유 $X_t$에서 성립할 경우, 상대 Barlet 공간 $\mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{X}/\Delta)$의 분리 성분들은 기저 $\Delta$에 대해 올바르다.
• 중심 섬유 $X_0$의 대수적 차원은 일반 섬유의 대수적 차원 이상이며, 일반 섬유가 Moishezon(즉, 최대 대수적 차원)이므로 $X_0$ 역시 최대 대수적 차원을 가진다.
• 모든 $t \in \Delta^\star$에서 $\partial\bar{\partial}$-레마가 성립하면 중심 섬유 $X_0$에 강력한 Gauduchon 계량이 존재하며, 이 계량은 $\Delta$를 축소시킨 후 모든 섬유에 대해 $C^\infty$-가속도로 확장될 수 있다.
• $t \to 0$일 때, 임의의 유효 분할 $Z_t \subset X_t$의 체적은 매끄러운 계량과 포텐셜 형식의 $t$에 대한 의존성 덕분에 균일하게 유계이다.
• 상대 Barlet 공간의 분리 성분에 대한 투영 $\mu_{n-1}: \mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{X}/\Delta) \to \Delta$의 올바름은 중심 섬유가 최대 대수적 차원을 달성할 수 있도록 충분한 수의 분할을 물려받는다.