[논문 리뷰] Limits of multiplicative inhomogeneous random graphs and Lévy trees: Limit theorems

Nicolas Broutin, Thomas Duquesne외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 05.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 28인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 레비 과정과 갈톤-워슨 산림에 대한 통합을 통해 다항성 불균형 랜덤 그래프의 연결 성분이 무작위 컴acts 측도 거리 공간으로의 그로모프-하우스도르프-프코르프 수렴을 확립한다. 비판적 영역에 대한 통합된 극한 이론을 제공하며, 레비 유형 과정의 초월에서 극한 물체를 명시적으로 구성함으로써 이전의 에르되시-레니, 균일 및 멱법칙 랜덤 그래프 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We consider a natural model of inhomogeneous random graphs that extends the classical Erd\H os-Rényi graphs and shares a close connection with the multiplicative coalescence, as pointed out by Aldous [AOP 1997]. In this model, the vertices are assigned weights that govern their tendency to form edges. It is by looking at the asymptotic distributions of the masses (sum of the weights) of the connected components of these graphs that Aldous and Limic [EJP 1998] have identified the entrance boundary of the multiplicative coalescence, which is intimately related to the excursion lengths of certain Lévy-type processes. We, instead, look at the metric structure of these components and prove their Gromov-Hausdorff-Prokhorov convergence to a class of random compact measured metric spaces that have been introduced in a companion paper. Our asymptotic regimes relate directly to the general convergence condition appearing in the work of Aldous and Limic. Our techniques provide a unified approach for this general "critical" regime, and relies upon two key ingredients: an encoding of the graph by some Lévy process as well as an embedding of its connected components into Galton-Watson forests. This embedding transfers asymptotically into an embedding of the limit objects into a forest of Lévy trees, which allows us to give an explicit construction of the limit objects from the excursions of the Lévy-type process. The mains results combined with the ones in the other paper allow us to extend and complement several previous results that had been obtained via regime-specific proofs, for instance: the case of Erd\H os-Rényi random graphs obtained by Addario-Berry, Goldschmidt and B. [PTRF 2012], the asymptotic homogeneous case as studied by Bhamidi, Sen and Wang [PTRF 2017], or the power-law case as considered by Bhamidi, Sen and van der Hofstad [PTRF 2018].

연구 동기 및 목표

• 다항성 불균형 랜덤 그래프의 연결 성분의 점근적 거리 구조를 확립하기 위해.
• 에르되시-레니, 균일 및 멱법칙 모델 포함, 비판적 영역에 걸친 극한 정리들을 통합하기 위해.
• 레비 과정과 갈톤-워슨 산림 통합을 이용한 수렴에 대한 일반적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 레비 유형 과정의 초월에서 극한 물체를 명시적으로 구성하기 위해.
• 기존 문헌의 영역별로 특화된 증명을 확장 및 일반화하기 위해.

제안 방법

• 다항성 공열 역학을 캡처하는 레비 과정을 통해 그래프를 인코딩한다.
• 연결 성분을 갈톤-워슨 산림에 통합하여 점근적으로 레비 수목의 극한 산림으로 이행한다.
• 그로모프-하우스도르프-프코르프 위상에서 컴팩트 측도 거리 공간으로의 수렴을 분석한다.
• 극한 물체는 기저 레비 과정의 초월에서 구성된다.
• 앨도스와 리미크(1998)가 제시한 일반 수렴 조건을 사용하며, 이는 모든 영역에 균일하게 적용된다.
• 프레임워크는 극한 구조를 동일한 확률 모델에 통합함으로써 이전 결과들을 통합하고 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항성 불균형 랜덤 그래프의 연결 성분의 거리 구조는 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ2 불균형 랜덤 그래프의 비판적 영역에 대해 통합된 극한 정리를 유도할 수 있는가?
• RQ3 레비 과정의 초월에서 극한 측도 거리 공간을 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 갈톤-워슨 산림에 대한 통합이 그로모프-하우스도르프-프코르프 위상에서 극한 물체로 어떻게 이행되는가?
• RQ5 기존의 에르되시-레니, 균일 및 멱법칙 랜덤 그래프에 대한 결과는 어느 정도 일반화되는가?

주요 결과

• 다항성 불균형 랜덤 그래프의 연결 성분은 그로모프-하우스도르프-프코르프 위상 하에서 컴팩트 측도 거리 공간으로 확률적으로 수렴한다.
• 극한 물체는 레비 유형 과정의 초월에서 명시적으로 구성되며, 이는 극한의 경로 기반 기술을 제공한다.
• 앨도스와 리미크(1998)가 규명한 일반적인 비판적 영역 조건을 충족함으로써 수렴이 성립하며, 여러 알려진 사례를 통합한다.
• 방법론은 그래프의 성분 구조를 점근적으로 레비 수목의 산림으로 이행하여, 거리 및 측도 성질을 유지한다.
• 프레임워크는 에르되시-레니, 균일 및 멱법칙 랜덤 그래프에 대한 이전 결과들을 통합하고 확장하며, 하나의 극한 이론으로 통합한다.
• 이 접근법은 이전의 사례별 분석을 대체하는 체계적이고 영역에 종속되지 않은 증명 전략을 제공한다.